Teorema de Castigliano

Este teorema postula que, si la expresión de la energía elástica del sólido, U, es conocida, cualquier deformación, ya sea giro o desplazamiento, en un punto concreto del sólido puede calcularse derivando con respecto de la carga, P, que haya aplicada en dicho punto. El resultado indicará la deformación siguiendo el sentido de aplicación de la carga P.

En el caso del dibujo anterior, si la energía elástica se deriva con respecto de la carga P_1, se obtendrá la deformación \delta_A.

La energía elástica, U, es la energía interna de deformación producida en el sólido por las cargas aplicadas sobre él. En una viga, la energía elástica depende de los distintos esfuerzos a los que está sometida a lo largo de toda su longitud, según la ecuación

U = \int_0^L {\dfrac{{{N^2}}}{{2EA}}dx} + \int_0^L {\dfrac{{M_z^2}}{{2E{I_z}}}dx} + \int_0^L {\dfrac{{M_y^2}}{{2E{I_y}}}dx} 

donde N es el esfuerzo axil, M_z y M_y son los momentos flectores según los dos ejes del perfil, E es el módulo elástico del material, A el área del perfil, I_z e I_y son los momentos de inercia del perfil con respecto a cada eje.

Como se puede comprobar en la fórmula, el esfuerzo cortante y el esfuerzo de torsión no son tenidos en cuenta debido a su baja aportación con respecto al resto de esfuerzos.

Además, normalmente el esfuerzo de flexión suele ser el esfuerzo predominante en vigas, pudiendo despreciar también la contribución del esfuerzo axial, reescribiendo la fórmula como

U = \int_0^L {\dfrac{{M_z^2}}{{2E{I_z}}}dx} + \int_0^L {\dfrac{{M_y^2}}{{2E{I_y}}}dx} 

En función de las cargas que haya en la viga puede existir momento flector en ambos ejes o únicamente en uno de ellos, lo que simplifica el cálculo.

En el caso de estructuras articuladas, únicamente existirá esfuerzo axial, reescribiendo la fórmula como

U = \int_0^L {\dfrac{{{N^2}}}{{2EA}}dx}

Siguiendo el teorema, la deformación, \delta_i, calculada como la derivada de la energía elástica con respecto a una carga, P_i aplicada en una sección de la viga es

{\delta _i} = \int_0^L {\dfrac{N}{{EA}}\dfrac{{\partial N}}{{\partial {P_i}}}dx} + \int_0^L {\dfrac{{{M_z}}}{{E{I_z}}}\dfrac{{\partial {M_z}}}{{\partial {P_i}}}dx} + \int_0^L {\dfrac{{{M_y}}}{{E{I_y}}}\dfrac{{\partial {M_y}}}{{\partial {P_i}}}dx}

Es decir, para obtener la deformación es necesario conocer la expresión de las leyes de esfuerzos (normalmente solo se necesitará conocer la ley de momento flector al considerar el resto de esfuerzos como despreciables), la derivada de estas leyes con respecto de la carga P_i considerada, y las propiedades del material y perfil de la viga.

Se obtendrá un desplazamiento o un giro en función de si la carga respecto a la que se deriva es una carga puntual o un momento. Si el resultado es positivo, el sentido de la deformación es el mismo que el sentido de la carga o el momento, siendo contrario si el resultado es negativo.

¿Para qué es útil el teorema? Este teorema permite calcular giros y desplazamientos en posiciones concretas de una viga, es decir, en una sección si conocemos a priori las leyes de esfuerzos. No es posible obtener la deformación en toda la viga, como sí aporta el método de integración de la curva elástica. La principal ventaja del método es que es sencillo de utilizar, ya que las derivadas no suelen ser complejas al tratarse de funciones polinómicas, pudiendo ser un procedimiento sustituto al método de la carga unidad. También puede utilizarse en cualquier tipo de viga, lo que favorece su uso con respecto a los métodos de Mohr.