¿Qué es una ecuación diferencial?

La resolución de un problema del mundo real consiste normalmente en la determinación de las relaciones existentes entre las distintas variables o magnitudes que intervienen en dicho problema. Con frecuencia, el estudio local del fenómeno en cuestión conduce a la obtención de relaciones que ligan estas magnitudes y las razones de cambio (derivadas) de unas con respecto a otras, las cuales se expresan generalmente mediante una ecuación diferencial. La resolución de la ecuación conduce a la obtención de las relaciones entre las magnitudes, y por tanto a la solución del problema.

Veamos un ejemplo: (Curva tractriz) Una cuerda está situada en el eje de abscisas, con un extremo en el origen de coordenadas y otro en el punto $(a, 0)$ ( $a$ constante positiva longitud de la cuerda). Supongamos que el extremo izquierdo comienza a moverse sobre el eje de ordenadas, ¿qué trayectoria sigue el otro extremo?

Como la distancia entre el punto sobre el eje de ordenadas y el punto del otro extremo $(t,y)$ es la longitud $a$ de la cuerda y en ese punto el valor de la derivada de la función $y'$ es la tangente del ángulo que forma la recta tangente con el eje $OX$ , tenemos que

$y'=-\dfrac{\sqrt{a^2-t^2}}{t}$

donde ponemos signo negativo porque la pendiente de la recta tangente es negativa.

En la ecuación anterior, la función incógnita depende de una sola variable. Pero con frecuencia, los modelos reales conducen a la determinación de relaciones entre una función de varias variables y algunas de las razones de cambio (derivadas parciales) de dicha función con respecto a cada una de las variables. Así por ejemplo, si consideramos una varilla metálica de longitud finita apoyada sobre el eje de abscisas y con un extremo sobre el origen de coordenadas, y designamos por $u(x,t)$ la temperatura del punto $x$ en el instante $t$ , entonces la función $u$ satisface la igualdad

$\dfrac{\partial u}{\partial t} = a \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

siendo $a$ una constante positiva que depende únicamente del material que conforma la varilla.

Las ecuaciones en las que la función incógnita depende de una sola variable reciben el nombre de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) a toda ecuación en la que aparecen una función $“y”$ , algunas de sus derivadas y la variable independiente t.

Ejemplos:

$\begin{array}{l} y' =2 y \\ y' = 5y^2 \\ y' – y = \cos t \\ y'' – 4y' + y = 0 \\ \end{array}$

Se llama orden de una ecuación diferencial al mayor orden de derivación que afecta a la función incógnita $y$ .

La ecuación $y'-2ty=0$ es de orden 1 mientras que la ecuación $y''-4y'+5y=0$ es de orden 2.

Se llama solución de una ecuación diferencial de orden $n$ a toda función $"y=y(t)"$ que admite derivada n-sima continua en un intervalo $I$ de números reales y satisface dicha ecuación.

Se llama solución general de una ecuación diferencial al conjunto de todas la soluciones de dicha ecuación.

La solución de la ecuación $y'=y$ es $y(t)=Ce^t$ con $C$ una constante cualquiera.

En ocasiones en una ecuación diferencial de orden n puede despejarse el término $y^{(n)}$ y la ecuación se escribe en la forma

$y^{(n)}=f\left(t,y,y',\ldots,y^{(n-1)}\right).$

En el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias se plantea con frecuencia el problema de determinar aquellas soluciones $y(t)$ de una ecuación con la propiedad adicional de que los valores de la función y y algunas de sus derivadas en un punto dado $t_0$ vengan dados de antemano. Estos problemas reciben el nombre de problemas
de valor inicial o problemas de Cauchy

$\left\{\begin{array}{ll} y'=f(t,y)\\ y(t_0)=y_0. \end{array}\right.$

Por ejemplo la solución del problema de Cauchy $\left\{\begin{array}{ll} y'=2ty;\\ y(1)=e \end{array}\right.$ es $y=e^{t^2}$ ya que la solución general de la ecuación diferencial es $y=Ce^{t^2}$ y si imponemos la condición de que $y(1)=e$ entonces obtenemos que $C=1$ .

El siguiente teorema nos da las condiciones que deben cumplirse para que un problema de valor inicial tenga solución única.

Teorema: [de Picard] Sea $f$ una función definida en un rectángulo $D=(a,b)\times(c,d)$ y sea $(t_0,y_0)$ un punto de dicho rectángulo. Si $f$ y $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en $D$ , entonces existen un intervalo $I\subset(a,b)$ centrado en $t_0$ y una única función $y$ con derivada continua en $I$ que satisface la igualdad $y'(t)=f(t,y(t))$ para cada $t\in I$ y la condición inicial $y\left(t_0\right)=y_0$ .

Aprende a resolver cada tipo de ecuación diferencial

A continuación puedes escoger entre los siguientes enlaces con artículos llenos de ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación diferencial: