Una función f de dos variables se denomina homogénea si para cualquier punto (t,y) en el dominio de f y cualquier \alpha\neq0 tales que (\alpha t,\alpha y) está en el dominio de f se satisface la igualdad
f\left(\alpha\left(t,y\right)\right)=f(\alpha t,\alpha y) = f(t,y).
La ecuación diferencial de primer orden y'= f(t,y) se llama homogénea si f es una función homogénea.
Notemos que si f es homogénea, entonces f puede expresarse en términos de \dfrac{y}{t}. En efecto, por la propia definición se tiene
f(t,y) = f\left(t(1, y/t)\right)= f\left(1,\dfrac{y}{t}\right).
Si hacemos el cambio de variable u(t)= \dfrac{y(t)}{t}, la ecuación diferencial se transforma en esta otra
u+tu' = f(1,u),
y agrupando términos en u resulta
\dfrac{u'}{f(1,u)-u}= \dfrac{1}{t}.
Así pues, el cambio de variable u=\dfrac{y}{t} transforma cualquier ecuación homogénea en una ecuación en variables separadas.
Es obvio que es más fácil realizar el proceso de resolución que memorizar la fórmula anterior.
Ejemplo: Solución general de la ecuación diferencial
t^2+y^2+2t^2y'=0
- Expresamos la ecuación en la forma forma y' =f(t,y).
y'=-\dfrac{t^2+y^2}{2t^2}=f(t,y)
- Comprobamos si es homogénea.
f(\alpha t,\alpha y)=-\dfrac{\alpha^2t^2+\alpha^2y^2}{2\alpha^2t^2}=-\dfrac{\alpha^2(t^2+y^2)}{2\alpha^2t^2}=-\dfrac{t^2+y^2}{2t^2}=f(t,y)
y por lo tanto es una ecuación homogénea.
- Realizamos el cambio u=\dfrac{y}{t}, es decir, y=ut . Derivando este producto tenemos que y' = u't + u. Operamos y separamos variables.
\begin{gathered} y' = u't + u = -\frac{{{t^2}+{u^2}{t^2}}}{{2{t^2}}} =- \frac{{{u^2} + 1}}{2}, \\[0.5em] u't = -\frac{{{u^2} + 1}}{2} – u =- \frac{1}{2}\left( {{u^2} + 2u + 1} \right) = -\frac{1}{2}{\left( {u + 1} \right)^2}, \\[0.5em] -\frac{2}{{{{\left( {u + 1} \right)}^2}}}u' = \frac{1}{t}. \\[0.5em] \end{gathered}
- Integramos
\frac{2}{{u + 1}} = \ln \left| t \right| + C,\;C \in \mathbb{R},
- Deshacemos el cambio de variable.
\begin{gathered} \frac{{2t}}{{y + t}} = \ln \left| t \right| + C, \\[0.5em] y + t = \frac{{ 2t}}{{\ln \left| t \right| + C}}, \\[0.5em] \end{gathered}
\boxed{\color{blue}y=\frac{2t}{{\ln \left| t \right| + C}}-t,\;C\in\mathbb{R}}.
Ejemplo: Resolver el problema de Cauchy
\left\{\begin{array}{l} y' = \dfrac{2ty+3y^2}{2ty+t^2}, \\ y(2) = 2. \\ \end{array}\right.
Si llamamosf(t,y)= \dfrac{2ty+3y^2}{2ty+t^2}, entonces
f(\alpha t,\alpha y)=\dfrac{2\alpha^2ty+3\alpha^2y^2}{2\alpha^2ty+\alpha^2t^2}=\dfrac{\alpha^2\left( 2ty+3y^2\right) }{\alpha^2\left( 2ty+t^2\right) }=\dfrac{ 2ty+3y^2}{ 2ty+t^2 }=f(t,y)
y f es una función homogénea, por lo que se trata de una ecuación diferencial homogénea.
Si hacemos el cambio y=tu entonces
y' = u + tu' = \dfrac{{2{t^2}u + 3{t^2}{u^2}}}{{2{t^2}u + {t^2}}} = \dfrac{{2u + 3{u^2}}}{{2u + 1}},
tu' = \dfrac{{2u + 3{u^2}}}{{2u + 1}} – u = \dfrac{{2u + 3{u^2} – 2{u^2} – u}}{{2u + 1}} = \dfrac{{{u^2} + u}}{{2u + 1}}
\dfrac{{2u + 1}}{{{u^2} + u}}u' = \dfrac{1}{t},
e integrando
\ln(u^2+u)=\ln t+C,\quad C\in\mathbb{R}.
u^2+u=kt, k>0
Deshaciendo el cambio
\begin{gathered} \dfrac{{{y^2}}}{{{t^2}}} + \dfrac{y}{t} = kt \\[0.5em] {y^2} + ty – k{t^3} = 0. \\[0.5em] \end{gathered}
De y(2)=2 deducimos 4+4-8k=0, de donde k=1.
La solución es
\boxed{\color{blue}y^2+ty-t^3=0.}
Si quieres reforzar lo aprendido, aquí tienes un vídeo con más ejemplos resueltos!!!