Un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias es un conjunto de n igualdades en las que se ven implicadas n funciones incógnita x_1, . . . ,x_n que dependen de una variable t, y (algunas de) sus derivadas.
En el caso frecuente en que n = 2 (respectivamente n = 3) las funciones incógnita suelen designarse con los símbolos x e y (respectivamente, x, y y z).
Ejemplo: Un sistema de ecuaciones diferenciales es
\left\{\begin{array}{l} x'=2x-y+1 \\ y'=x+4y+e^t \end{array}\right..
- Se llama orden de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias al mayor orden de derivación que afecte a cualquiera de las funciones incógnita del sistema.
- Se llama solución de un sistema de n ecuaciones diferenciales a cualquier conjunto de n funciones definidas en un mismo intervalo I de números reales que satisfagan Simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.
- El conjunto formado por las soluciones del sistema se llama solución general de dicho sistema.
Trataremos con sistemas de primer orden en los que las derivadas de todas las funciones implicadas pueden despejarse explícitamente.
\left\{\begin{array}{l} x'_1=f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n) \\ x'_2= f_2(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)\\ \vdots \\ x'_n=f_n(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)\end{array}\right.
donde f_1,f_2,\ldots,f_n son funciones definidas en un conjunto del tipo (a,b)\times\mathbb{R}^n.
Al igual que en un ecuación diferencial podemos resolver un problema del valor inicial o de Cauchy.
Teorema: Sean f_1(t,x_1,\ldots,x_n),\ldots,f_n(t,x_1,\ldots,x_n) funciones definidas en un rectángulo abierto (a,b)\times(a_1,b_1)\times\ldots\times(a_n,b_n)\subset\mathbb{R}^{n+1}, y sea (t_0,c_1,\ldots,c_n) un punto de dicho rectángulo. Si las funciones f_1,f_2,\ldots,f_n y sus derivadas parciales con respecto a las variables x_1,\ldots,x_n son continuas en el rectángulo, entonces existen un intervalo I\subset(a,b) centrado en t_0 y un conjunto único de funciones (x_1,\ldots,x_n) con derivada continua en I que satisfacen las igualdades
\left\{\begin{array}{l} x'_1=f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n) \\ x'_2= f_2(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)\\ \vdots \\ x'_n=f_n(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)\\ x_1(t_0)=c_1\\ \vdots \\ x_n(t_0)=c_n \end{array}\right.
donde t_0 es un punto del intervalo (a,b) y c_1,c_2, \ldots,c_n son números reales dados.
Forma matricial de un sistema
Podemos escribir un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden en la forma
x'(t)=A(t)x(t)+g(t)\qquad {\color{blue}(1)}
donde A:I\to \mathcal{M}_n(\mathbb R) es una función matricial definida en un intervalo I, y g:I\to \mathbb R^n es una función vectorial definida también en I, esto es,
A(t) = \left( {\begin{array}{cccc} {{a_{11}}(t)} & {{a_{12}}(t)} & \cdots & {{a_{1n}}(t)} \\ {{a_{21}}(t)} & {{a_{22}}(t)} & \cdots & {{a_{2n}}(t)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{a_{n1}}(t)} & {{a_{n2}}(t)} & \cdots & {{a_{nn}}(t)} \\ \end{array} } \right), \qquad g(t) = \left( {\begin{array}{c} {{g_1}(t)} \\ {{g_2}(t)} \\ \vdots \\ {{g_n}(t)} \\ \end{array} } \right).
Se llama solución del sistema en el intervalo I a cualquier función derivable X:I\to \mathbb R^n, que verifica el sistema (1), es deci, X'(t)=A(t)X(t)+g(t) para cada t\in I. El conjunto formado por todas sus soluciones recibe el nombre de solución general del sistema.
Se llama sistema homogéneo asociado a (1), al sistema
x'(t) = A(t)x(t).\qquad {\color{blue}(2)}
Teorema (Principio de superposición): Si X_1 y X_2 son soluciones de un sistema homogéneo x'(t)=A(t)x(t), en un intervalo I, entonces la función
X_h(t)=c_1X_1(t)+c_2X_2(t)
donde c_1, c_2 son constantes reales, también es solución del sistema.
El teorema anterior prueba que el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es subespacio vectorial sobre \mathbb{R}. La dimensión de este subespacio es n, y por lo tanto, para hallar la solución general necesitamos encontrar n soluciones linealmente independientes.
Dadas X_1,X_2,\ldots,X_n:I\subset\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^n, se define su determinante wronskiano como la función real W[X_1,X_2,\ldots,X_n]:I\subset\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} definida para todo t\in I como
W({X_1},{X_2}, \ldots ,{X_n})(t) = \left| {\begin{array}{cccc} {{x_{11}}(t)}&{{x_{12}}(t)}& \cdots &{{x_{1n}}(t)} \\ {{x_{21}}(t)}&{{x_{22}}(t)}& \cdots &{{x_{2n}}(t)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{x_{n1}}(t)}&{{x_{n2}}(t)}& \cdots &{{x_{nn}}(t)} \end{array}} \right|.
El siguiente resultado caracteriza los conjuntos de n soluciones linealmente independientes de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneo.
Teorema (Criterio de independencia lineal): Sean
Ejemplo: Probar que las funciones {x}(t) = \left( {\begin{array}{c} {{e^{ – 2t}}} \\ { – {e^{ – 2t}}} \end{array}} \right) e {y}(t) = \left( {\begin{array}{c} {3{e^{6t}}} \\ {5{e^{6t}}} \end{array}} \right) son soluciones linealmente independientes del sistema
\left\{ \begin{gathered} x' = x + 3y \\ y' = 5x + 3y \\ \end{gathered} \right.
en (-\infty,\infty).
El sistema lo podemos escribir en forma matricial como
\left( {\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{cc} 1&3 \\ 5&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{c} x \\ y \end{array}} \right).
Operando tenemos
Ax(t) = \left( {\begin{array}{cc} 1&3 \\ 5&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{c} {{e^{ – 2t}}} \\ { – {e^{ – 2t}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{c} {{e^{ – 2t}} – 3{e^{ – 2t}}} \\ {5{e^{ – 2t}} – 3{e^{ – 2t}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{c} { – 2{e^{ – 2t}}} \\ {2{e^{ – 2t}}} \end{array}} \right) = x'(t),
y la función x(t) es solución del sistema. Del mismo modo
Ay(t) = \left( {\begin{array}{cc} 1&3 \\ 5&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{c} {3{e^{6t}}} \\ {5{e^{6t}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{c} {3{e^{6t}} + 15{e^{6t}}} \\ {15{e^{6t}} + 15{e^{6t}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{c} {18{e^{6t}}} \\ {30{e^{6t}}} \end{array}} \right) = y'(t),
y la función y(t) es también solución del sistema. Además, como
W(x,y) = \left| {\begin{array}{cc} {{e^{ – 2t}}}&{3{e^{6t}}} \\ { – {e^{ – 2t}}}&{5{e^{6t}}} \end{array}} \right| = 5{e^{4t}} + 3{e^{4t}} = 8{e^{4t}} \ne 0\;\quad \forall t\in \mathbb R,
estas funciones son linealmente independientes.
El teorema anterior motiva la siguiente definición.
Definición: Todo conjunto \{X_1, X_2,\ldots, X_n\} de soluciones linealmente independientes de un sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo x'(t)=A(t)x(t) en un intervalo I se llama conjunto fundamental de soluciones en ese intervalo. La función matricial
\phi (t) = (X_1(t)\,X_2(t)\,\ldots\,X_n(t))=\left( {\begin{array}{cccc} {{x_{11}}(t)}&{{x_{12}}(t)}& \cdots &{{x_{1n}}(t)} \\ {{x_{21}}(t)}&{{x_{22}}(t)}& \cdots &{{x_{2n}}(t)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{x_{n1}}(t)}&{{x_{n2}}(t)}& \cdots &{{x_{nn}}(t)} \end{array}}\right)
recibe el nombre de matriz fundamental de soluciones.
A continuación describimos las principales propiedades de estas matrices.
- La matriz fundamental es no singular, es decir, es invertible (tiene determinante no nulo) porque está formada por columnas linealmente independientes.
- La derivada de la matriz fundamental (que se obtiene derivando componente a componente) cumple \phi'(t)=A(t)\phi(t). pues cada columna es solución del sistema.
- La solución general del sistema homogéneo puede escribirse en la forma
X_h(t)=\phi(t)c,
donde c es un vector arbitrario de \mathbb R^n.
La solución general del sistema lineal de n ecuaciones de primer orden (1) es la suma de una solución particular X_p de dicho sistema y la solución general, X_h, del sistema homogéneo asociado (2).
En otras palabras, si X_p(t) es una solución particular del sistema x'(x)=A(t)x(t)+g(t) en un intervalo I y X_h representa la solución general del sistema homogéneo asociado x'(t)=A(t)x(t) en el mismo intervalo, entonces la solución general del sistema completo (en I) adopta la forma
X(t)=X_h(t)+X_p(t).
Vimos en el apartado de la exponencial de la matriz que la matriz e^{tA} tiene matriz inversa que es e^{-tA}. Además
\dfrac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}
y, por lo tanto, la matriz \phi(t)=e^{tA} es una matriz fundamental de soluciones del sistema homogéneo x'=Ax y la solución general de este sistema escrita en forma vectorial es
\boxed{x(t)=e^{tA}c}
donde c\in\mathbb{R}^n es un vector arbitrario de n componentes.
Ejemplo: Resolver el siguiente problema del valor inicial:
\left\lbrace\begin{array}{l} x'=2x+4y\\ y'=-x+6y\\ x(0)=-1\\ y(0)=6 \end{array} \right.
La matriz del sistema es A=\left( \begin{array}{rc}2&4\\-1&6\end{array}\right). Calculamos la matriz \phi(t)=e^{tA}.
\left| {A – \lambda I} \right| = \left| {\begin{array}{cc} {2 – \lambda }&4 \\ { – 1}&{6 – \lambda } \end{array}} \right| = {\lambda ^2} – 8\lambda + 16 = {\left( {\lambda – 4} \right)^2}
y hay un único valor propio \lambda=4.
\left. \begin{gathered} {e^{4t}} = {\alpha _0} + 4{\alpha _1}\\ t{e^{4t}} = {\alpha _1}\\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow {\alpha _0} = {e^{4t}} – 4t{e^{4t}}
Entonces
{e^{tA}}=\alpha_0I_2+\alpha_1 A = \left( {\begin{array}{cc} {{e^{4t}} – 4t{e^{4t}}} & 0 \\ 0 & {{e^{4t}} – 4t{e^{4t}}} \\ \end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{cc} {2t{e^{4t}}} & {4t{e^{4t}}} \\ { – t{e^{4t}}} & {6t{e^{4t}}} \\ \end{array} } \right) = {e^{4t}}\left( {\begin{array}{cc} {1 – 2t} & {4t} \\ { – t} & {1 + 2t} \\ \end{array} }\right).
La solución es
\left\{ \begin{gathered} x(t) = {e^{4t}}\left( {{c_1}(1 – 2t) + 4{c_2}t} \right),\\ y(t) = {e^{4t}}\left( { – {c_1}t+ {c_2}(1 + 2t)} \right).\\ \end{gathered} \right.
De x(0)=-1 obtenemos c_1=-1 y de y(0)=6, c_2=6, concluyendo que
\boxed{\color{blue}\left\{\begin{gathered} x(t) = {e^{4t}}\left( {-1 +26t} \right), \\ y(t) = {e^{4t}}\left( { 6 + 13t} \right). \\ \end{gathered} \right.}
Método de la variación de las constantes
Para hallar una solución particular del sistema de ecuaciones completo utilizaremos el método de la variación de las constantes.
Teorema: Sea I un intervalo de números reales, A:I\to \mathcal{M}_n(\mathbb R) y g:I\to \mathbb R^n funciones continuas y sea \phi(t) una matriz fundamental del sistema de ecuaciones lineales x'(t)=A(t)x(t), entonces una solución particular del sistema x'(t)=A(t)x(t)+g(t) es
x_p(t)=\phi(t)\displaystyle\int\!\!\phi^{-1}(t)g(t)dt.
En efecto, si derivamos x_p(t) tenemos
{x_p}'(t) = \phi '(t)\displaystyle\int {{\phi ^{ – 1}}(t)g(t)dt + \phi (t) \cdot } {\phi ^{ – 1}}(t)g(t).
Como \phi'(t)=A(t)\phi(t), concluimos que
{x_p}'(t) = A(t)\underbrace {\phi (t)\int {{\phi ^{ – 1}}(t)g(t)dt} }_{{x_p}(t)} + g(t) = A(t){x_p}(t) + g(t)
y x_p es solución.
Ejemplo: Hallar la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales
\left\{\begin{array}{l} x'=2x-y+e^{2t}\operatorname{sen} 2t\\ y'=4x+2y+2e^{2t}\cos 2t \end{array} \right.
- Calculamos la matriz fundamental.
La matriz del sistema es A=\left( \begin{array}{cr}2&-1\\4&2 \end{array}\right) .
El polinomio característico es
\left| {A – \lambda I} \right| = \left| {\begin{array}{cc} {2 – \lambda }&{ – 1} \\ 4&{2 – \lambda } \end{array}} \right| = {\lambda ^2} – 4\lambda + 8 = \left( {\lambda – (2 + 2i)} \right)\left( {\lambda – (2 – 2i)} \right).
con valores propios 2\pm 2i.
\begin{gathered}{e^{(2 + 2i)t}} = {\alpha _0} + (2 + 2i){\alpha _1} \\ {e^{2t}}\cos 2t + i{e^{2t}}\operatorname{sen} 2t = {\alpha _0} + 2{\alpha _1} + 2i{\alpha _1} \\ \end{gathered}
\left. {\begin{array}{c} {{e^{2t}}\cos 2t = {\alpha _0} + 2{\alpha _1}} \\ {{e^{2t}}\operatorname{sen} 2t = 2{\alpha _1}} \\ \end{array} } \right\} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{c} {{\alpha _0} = {e^{2t}}\left( {\cos 2t – \operatorname{sen} 2t} \right)} \\ {{\alpha _1} = \dfrac{1}{2}{e^{2t}}\operatorname{sen} 2t} \\ \end{array} } \right.
\begin{darray}{rl}{e^{At}} &= {e^{2t}}\left[ {\left( {\begin{array}{cc} {\cos 2t – \operatorname{sen} 2t} & 0 \\ 0 & {\cos 2t – \operatorname{sen} 2t} \\ \end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{cc} {\operatorname{sen} 2t} & { – \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2t} \\ {2\operatorname{sen} 2t} & {\operatorname{sen} 2t} \\ \end{array} } \right)} \right] \\&= {e^{2t}}\left( {\begin{array}{cc} {\cos 2t} & { – \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2t} \\ {2\operatorname{sen} 2t} & {\cos 2t} \\ \end{array} }\right)=\phi(t)\end{darray}
- Calculamos \phi^{-1}(t).
{\phi ^{ – 1}}(t) =e^{-tA}= {e^{ – 2t}}\left( {\begin{array}{cc} {\cos 2t}&{\dfrac{1}{2}{\mathop{\rm sen}\nolimits} 2t}\\ { – 2{\mathop{\rm sen}\nolimits} 2t}&{\cos 2t} \end{array}} \right),
- Calculamos \phi^{-1}(t)g(t).
{\phi ^{ – 1}}(t)g(t) = {e^{ – 2t}}\left( {\begin{array}{cc} {\cos 2t}&{\dfrac{1}{2}{\mathop{\rm sen}\nolimits} 2t}\\ { – 2{\mathop{\rm sen}\nolimits} 2t}&{\cos 2t} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{cc} {{e^{2t}}{\mathop{\rm sen}\nolimits} 2t}\\ {2{e^{2t}}\cos 2t} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{cc} {{\mathop{\rm sen}\nolimits} 4t}\\ {2{{\cos }}4t} \end{array}} \right)
donde hemos utilizado las fórmulas del ángulo doble.
- Integramos \phi^{-1}(t)g(t).
\begin{gathered} \displaystyle\int {\operatorname{sen} 4tdt = – \dfrac{1}{4}\cos 4t,} \\ \displaystyle\int {{2\cos }}4tdt = \dfrac{1}{2}\operatorname{sen}4t \\ \end{gathered}
- Calculamos G(t)=\displaystyle\phi(t)\int\phi^{-1}(t)g(t).
\begin{darray}{rl}G(t) &= \phi (t)\displaystyle\int{\phi ^{ – 1}}(t)g(t)dt = {e^{2t}}\left( {\begin{array}{cc} {\cos 2t} & { – \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2t} \\ {2\operatorname{sen} 2t} & {\cos 2t} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{c} { – \frac{1}{4}\cos 4t} \\[1ex] {\frac{1}{2}\operatorname{sen} 4t} \\ \end{array} } \right) \\&= \left( {\begin{array}{c} { – \frac{1}{4}\cos 2t\cos 4t – \frac{1}{4}\operatorname{sen} 2t\operatorname{sen} 4t} \\[2ex] { – \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2t\cos 4t + \frac{1}{2}\cos 2t\operatorname{sen} 4t} \\ \end{array} } \right)\end{darray}
Teniendo en cuenta las fórmulas
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta
\operatorname{sen}(\alpha-\beta)=\operatorname{sen}\alpha\cos\beta-\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta
concluimos que la solución es
\boxed{\color{blue}\left\{ \begin{array}{l} x(t) = {e^{2t}}\left( {c_1}\cos 2t – \dfrac{1}{2}{c_2}{\mathop{\rm sen}\nolimits} 2t – \dfrac{1}{4}\cos 2t \right)\\[2ex] y(t) = {e^{2t}}\left( 2{c_1}{\mathop{\rm sen}\nolimits} 2t + {c_2}\cos 2t + \dfrac{1}{2}\operatorname{sen}2t \right) \end{array} \right.}