Los trenes de engranajes están presentes en multitud de mecanismos y máquinas transportando el movimiento desde la entrada a la salida del tren. En este artículo explicamos como realizar el análisis cinemático de trenes de engranajes fijos, resolviendo algún ejemplo. Además, al final del artículo tenéis un vídeo con animaciones y más información y otro artículo sobre trenes de engranajes planetarios.
1. Módulo de un engranaje
Para que dos ruedas dentadas puedan formar un engranaje, es decir, engranen con precisión transmitiéndose el movimiento de una a otra, deben tener el mismo módulo. El módulo, m, es una relación geométrica entre el diámetro primitivo, d, de la rueda y su número de dientes, z.
m = \dfrac{d}{z}
Para un módulo dado, mayor será el diámetro de la rueda cuanto mayor sea el número de dientes.
De manera muy simplificada, el módulo indica cuánto de espaciados están los dientes en el engranaje. Si dos ruedas tienen distinto módulo no podrán formar un engranaje porque los dientes chocarán de manera defectuosa al producirse el giro.
2. Velocidad en el punto de contacto
Con el objetivo de simplificar la redacción del artículo, a partir de ahora se hará uso de la palabra «engranaje» para referirnos a cualquier rueda o piñón (algo que es muy común).
Cuando se analiza una pareja de engranajes, la velocidad lineal, V, en el punto de contacto entre ambos (dos engranajes únicamente contactan en un diente) debe ser la misma. La velocidad para el engranaje A, V_A, puede calcularse a partir de la velocidad de giro (velocidad angular), \omega_A, del engranaje, multiplicada por su radio, r_A.
{V_A} = {\omega _A} \cdot {r_A}
De manera análoga, la velocidad lineal en el punto de contacto para el engranaje B, V_B, se obtiene como
{V_B} = {\omega _B} \cdot {r_B}
Como se ha comentado, ambas velocidades son iguales, por lo que
{V_A} = {\omega _A} \cdot {r_A} = {\omega _B} \cdot {r_B} = {V_B}
El radio de los engranajes puede expresarse como la mitad del diámetro, que puede sustituirse por el módulo y el número de dientes, resultando
{\omega _A} \cdot \dfrac{{{d_A}}}{2} = {\omega _B} \cdot \dfrac{{{d_B}}}{2}
{\omega _A} \cdot \dfrac{{{m_A} \cdot {z_A}}}{2} = {\omega _B} \cdot \dfrac{{{m_B} \cdot {z_B}}}{2}
Como el módulo de A y B debe ser el mismo, se puede simplificar a ambos lados de la ecuación, obteniendo finalmente
{\omega _A} \cdot {z_A} = {\omega _B} \cdot {z_B}
Es decir, la velocidad de rotación de los engranajes queda definida por el número de dientes de cada uno. Conocida la velocidad de giro del engranaje A, la velocidad de giro de B se obtiene a partir de la relación entre el número de dientes de ambos engranajes
{\omega _B} = \pm {\omega _A} \cdot \dfrac{{{z_A}}}{{{z_B}}}
Obsérvese que se ha añadido el símbolo \pm a la igualdad. Esto tiene que ver con el sentido de giro del engranaje conducido (en este caso B) con respecto al sentido de giro del engranaje conductor (A). Si se trata de engranajes exteriores, B girará en sentido contrario, debiendo escoger el sentido negativo (-). En cambio, si se trata de un par interior (uno de los engranajes es más pequeño que el otro y gira en el interior, piñón y corona), ambos tendrán el mismo sentido de giro, tomando el sentido positivo (+).
Nota: la elección del sentido positivo o negativo no responde a un criterio general, únicamente a la relación entre ambos engranajes.
3. Velocidad de salida de un tren de engranajes fijos
Si a la pareja de engranajes anterior se le añade un tercer engranaje C que engrane con B, la velocidad de C se obtendría a partir de la velocidad de B como
{\omega _C} = \pm {\omega _B} \cdot \dfrac{{{z_B}}}{{{z_C}}}
Sustituyendo la velocidad de B en función de la velocidad de A, se obtiene
{\omega _C} = \pm {\omega _A} \cdot \dfrac{{{z_A}}}{{{z_B}}}\cdot \dfrac{{{z_B}}}{{{z_C}}}
Siguiendo este procedimiento, si el tren estuviera compuesto de 5 engranajes, A-E (ordenados de izquierda a derecha), la velocidad del salida en E (marrón) se calcularía a partir de la velocidad en la entrada A (naranja) como
{\omega _E} = \pm {\omega _A} \cdot \dfrac{{{z_A}}}{{{z_B}}}\cdot \dfrac{{{z_B}}}{{{z_C}}}\cdot\dfrac{{{z_C}}}{{{z_D}}}\cdot\dfrac{{{z_D}}}{{{z_E}}}
Analizando la fórmula obtenido se observa que:
- En el numerador se sitúan el número de dientes de aquellos engranajes que son conductores, es decir, que transmiten su movimiento al siguiente.
- En el denominador está el número de dientes de los engranajes conducidos, es decir, que reciben movimiento del anterior.
{\omega _s} = \pm {\omega _e} \cdot \dfrac{{\prod {{z_{conductores}}} }}{{\prod {{z_{conducidos}}} }}
En un tren, normalmente los engranajes pueden ser tanto conductores como conducidos, como ocurre en este caso, lo que permite simplificar el cálculo. La velocidad de salida es función de la velocidad de entrada y la relación entre el número de dientes del primer engranaje (A) y el último (E)
{\omega _E} = \pm {\omega _A} \cdot \dfrac{{{z_A}}}{{{z_E}}}
Nota: la elección del signo siempre quedará definida por el sentido de giro relativo (igual o contrario) de ambos engranajes.
4. Ejercicio
Obtener la velocidad y sentido de giro del engranaje F, sabiendo el número de dientes de todos los engranajes del tren y que el engranaje A gira a 200 rpm en sentido horario.
Se observa como el tren está formado de dos partes distintas: el conjunto A-C y el conjunto D-F, siendo los engranajes C y D solidarios al estar unidos por el mismo eje. Esto quiere decir que la velocidad de giro de C y D es la misma.
Siguiendo la explicación anterior, lo engranajes exteriores giran en sentido contrario, por lo que:
- Se toma el sentido de giro de A como positivo (+), sentido horario.
- B engrana exteriormente con A, por lo que girará en sentido contrario a A, antihorario (-).
- C engrana exteriormente con B, por lo que girará en sentido contrario a B, horario (+).
- D es solidario a C, llevando el mismo sentido de giro horario (+).
- E engrana exteriormente con D, por lo que girará en sentido contrario a D, antihorario (-).
- F engrana exteriormente con E, por lo que girará en sentido contrario a E, horario (+).
En definitiva, el sentido de giro de F es el mismo que el de A, horario.
La velocidad de giro se obtiene a partir de los engranajes conductores y conducidos. Los engranajes A y D son conductores, los engranajes C y F son conducidos y los engranajes B y E son tanto conductores como conducidos. Por lo tanto
{\omega _F} ={\omega _A} \cdot \dfrac{{{z_A}}}{{{z_B}}}\cdot \dfrac{{{z_B}}}{{{z_C}}}\cdot\dfrac{{{z_D}}}{{{z_E}}}\cdot\dfrac{{{z_E}}}{{{z_F}}}
{\omega _F} = {\omega _A} \cdot \dfrac{{{z_A\cdot z_D}}}{{{z_C\cdot z_F}}}=200\cdot\dfrac{{{40\cdot 20}}}{{{10\cdot 20}}}=800\,rpm
La velocidad de salida del tren será de 800 rpm en el mismo sentido de giro que la velocidad de entrada.
Si queréis ampliar un poco más vuestros conocimientos sobre trenes de engranajes os animo a ver el siguiente vídeo donde se muestran más ejemplos!!