Un ejercicio que siempre resulta difícil para los estudiantes es el cálculo de las leyes y la representación de los diagramas de esfuerzo en vigas con cargas triangulares. En este artículo resolvemos un ejemplo paso por paso, explicando el procedimiento para obtener las reacciones en los apoyos, las leyes de esfuerzos y representar los diagramas. También tenemos un vídeo con otros ejemplos resueltos.
Si tenéis dudas sobre algún concepto previo u os estáis iniciando en el cálculo de vigas, os recomendamos ojear este artículo previo.
Calcular las reacciones, determinar las leyes de esfuerzos y representar los diagramas de esfuerzos para la siguiente viga isostática que tiene aplicada una carga distribuida triangular.
1. Determinación de las reacciones
El primer paso consiste en obtener el valor de las reacciones que los apoyos definidos en la viga generan como respuesta a las cargas aplicadas.
El apoyo a es empotramiento, por lo que se generan tres reacciones correspondientes a la limitación de desplazamiento horizontal y vertical, y la restricción del giro. Ray es la reacción vertical, cuyo sentido lo suponemos «hacia arriba», y Rax es la reacción horizontal. Ma es la reacción de momento, cuyo sentido vamos a suponer «antihorario».
Para obtener las reacciones en el apoyo, se debe realizar el balance estático, igualando las tres ecuaciones (sumatorio de fuerzas horiozontales y verticales y sumatorio de momentos) a cero. Sin embargo, previamente necesitamos hacer uso de un concepto importante que permite resolver el cálculo con cargas distribuidas triangulares.
La carga triangular será simplificada por su área (el área del triángulo) y la posición de la fuerza resultante que coincide con la posición del centro de gravedad del triángulo. Matemáticamente se deduce que el centro de gravedad de un triángulo rectángulo (caso habitual en vigas) se encuentra a 1/3 de longitud del lado respecto de la base, y 2/3 respecto del vértice (ver figura para más claridad).
Es decir, el punto de aplicación de la carga distribuida, a efectos del cálculo de momentos, está situado a 1 m de la base del triángulo. En este ejercicio, el centro se encuentra a 1 m de distancia del apoyo a.
A continuación se plantean las tres ecuaciones estáticas:
- Sumatorio de fuerzas horizontales: por criterio, las fuerzas aplicadas en dirección «hacia la derecha» son positivas y las aplicadas «hacia la izquierda» son negativas. La suma de todas las fuerzas debe ser igual a cero. En este caso, únicamente la reacción Rax es horizontal, por lo que su valor es cero.
\sum {{F_x}} = 0 \to Rax = 0\;kN
- Sumatorio de fuerzas verticales: por criterio, las fuerzas aplicadas «hacia arriba» serán positivas, y las aplicadas «hacia abajo» serán negativas. La suma total de las fuerzas deber ser igual a cero. En este caso, la reacción Ray es positiva, mientras que la carga distribuida triangular es una fuerza negativa. Su valor es igual al área del triángulo rectángulo de base q y altura 3 m (A=\dfrac{q\cdot 3}{2}).
\sum {{F_y}} = 0 \to Ray – \dfrac{{10 \cdot 3}}{2} \to Ray = 15\;kN
- Sumatorio de momentos en una sección: elegiremos una sección de la viga para realizar el equilibrio de momentos. Es recomendable seleccionar aquella que más incógnitas elimine, en este caso, la sección a, ya que hay dos fuerzas aplicadas en este punto que no generan momento. En el planteamiento de esta ecuación necesitamos hacer uso de la distancia desde el punto de aplicación de las fuerzas hasta a. Para entender cómo plantear la ecuación, pensaremos en una palanca que gira respecto de la sección a, desde el punto de aplicación de cada fuerza. Si el giro es «antihorario» el signo será positivo. Si es «horario» se tomará como negativo. En este caso, el momento Ma es positivo, mientras que la carga distribuida genera un momento en sentido negativo. Su valor es igual al área del triángulo, multiplicada por la distancia desde el punto de aplicación de la fuerza resultante (centro de gravedad del triángulo) al apoyo a, concretamente, 1 m.
\sum M = 0 \to Ma – \dfrac{{10 \cdot 3}}{2} \cdot 1 \to Ma = 15\;kN
2. Obtención de las leyes de esfuerzo axil, cortante y momento flector en todos los tramos de la viga
Una vez que los valores de las reacciones en los apoyos de la viga son conocidas, es posible obtener las leyes de esfuerzo en cada tramo de la viga.
Una ley de esfuerzo es una función que representa el esfuerzo axil, cortante o momento flector en todas las secciones de la viga, desde un extremo a otro en función de la posición. Para ello, definiremos distancia x como la longitud desde el extremo izquierdo de la viga hasta la sección de evaluación.
El procedimiento consiste en partir la viga en tramos, separados por cambios de carga o apoyos. Es decir, recorriendo la viga de derecha a izquierda, se definirá un tramo cuando aparezca una nueva carga o un apoyo.
Siguiendo este criterio, esta viga se divide en dos tramos, a-b y b-c, coincidiendo la separación con el final de la carga triangular.
Recordatorio
Antes de analizar cada tramo y obtener las leyes de esfuerzo, es necesario definir un criterio de signos. Aunque esto es algo que ya deberíamos conocer antes de analizar este tipo de vigas, repetimos aquí este recordatorio:
- Esfuerzo axil, N: se toma como criterio positivo el esfuerzo de tracción, es decir, aquellas cargas que tienen a incrementar la longitud de la barra. Por lo tanto, la compresión es negativa. A nivel del procedimiento de análisis se traduce en definir como criterio positivo todas aquellas fuerzas en dirección paralela al eje de la viga que, situadas a la izquierda de la sección x, están dirigidas hacia la izquierda.
- Esfuerzo cortante, V: aquellas fuerzas situadas a la izquierda de la sección x con dirección perpendicular al eje de la viga y hacia arriba generarán un cortante positivo.
- Momento flector, M: se tomará como criterio de momento positivo, el sentido horario producido por las cargas situadas a la izquierda de la sección x.
A partir de estos criterios establecidos, podemos obtener las leyes de esfuerzos en cada uno de los tramos.
Tramo a-b
El esfuerzo axil es nulo, ya que no hay fuerzas en dirección paralela al eje de la viga.
\left. {N\left( x \right)} \right|_a^b = Rax = 0
El cortante es generado en la sección x por la reacción Ray (positivo) y por la carga distribuida (negativo).
Fijémonos que, al cortar el tramo antes de llegar a b, también se corta la carga distribuida adoptando forma de trapecio. A la hora del análisis es más sencillo dividirla en dos áreas, un triángulo (rojo) y un rectángulo (azul). Por lo tanto, el cortante generado por el área del rectángulo es igual a q'\cdot x. Por su parte, el área del triángulo se obtiene como A = \dfrac{{\left( {q – q'} \right) \cdot x}}{2}.
El valor q’ depende de x, el cual se obtiene haciendo uso del teorema de Tales como
\dfrac{q}{3} = \dfrac{{q – q'}}{x} \to \dfrac{{10}}{3} = \dfrac{{10 – q'}}{x} \to q' = 10 – \dfrac{{10}}{3}x
Finalmente, la expresión de la ley de cortante podemos expresarla como
\begin{array}{c} \left. {V\left( x \right)} \right|_a^b = Ray – q'x – \dfrac{{\left( {q – q'} \right)x}}{2} = 15 -\left( {10 – \dfrac{{10}}{3}x} \right)x – \left( {10 – 10 + \dfrac{{10}}{3}x} \right)\dfrac{x}{2} = \\ = 15 – 10x + \dfrac{5}{3}{x^2} \,kN\\ \end{array}
Para la obtención de la ley de momentos, es necesario conocer la posición del centro de gravedad. Al dividir la carga en dos áreas, el centro de gravedad de ambas áreas queda definido como x/2 (mitad del rectángulo) y x/3 (1/3 del lado x del triángulo, respecto de a).
El momento flector en la viga es generado por el momento Ma del empotramiento (negativo), la reacción Ray, multiplicada por su distancia x (positivo) y el momento creado por la carga distribuida (negativo). El área del triángulo (roja) se multiplica por 2x/3, que es la distancia entre el centro de gravedad y la sección estudiada. De manera análoga, el área del rectángulo (azul) se multiplica por x/2.
\begin{array}{c} \left. {M\left( x \right)} \right|_a^b = – Ma + Ray \cdot x – q'x \cdot \dfrac{x}{2} – \dfrac{{\left( {q – q'} \right)x}}{2} \cdot \dfrac{{2x}}{3} = \\\\ = – 15 + 15x – \left( {10 – \dfrac{{10}}{3}x} \right) \cdot x \cdot \dfrac{x}{2} – \left( {10 – 10 + \dfrac{{10}}{3}x} \right) \cdot \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{{2x}}{3} = \\\\ = – 15 + 15x – 5{x^2} + \dfrac{5}{9}{x^3}\;kNm \\ \end{array}
Tramo b-c
El esfuerzo axil es nulo, ya que no hay fuerzas en dirección paralela al eje de la viga.
\left. {N\left( x \right)} \right|_b^c = Rax = 0
El cortante es generado en la sección x por la reacción Ray (positivo) y por la carga distribuida (negativo).
En este tramo, toda la carga triangular ha sido aplicada, por lo que el análisis es mucho más sencillo que para el tramo anterior, sin necesidad de obtener q’. La carga genera un cortante negativo igual al área del triángulo, A = \dfrac{{\left( {q} \right) \cdot 3}}{2}.
Por lo tanto, la ley de cortante podemos expresarla como
\left. {V\left( x \right)} \right|_b^c = Ray – \dfrac{{q \cdot 3}}{2} = 15 – \dfrac{{10 \cdot 3}}{2} = 0\;kN
El cortante es nulo en el tramo c-b de la viga, algo que es obvio. Es un extremo libre (sin apoyos) y sin cargas aplicadas. Si hubiéramos comenzado el análisis con la viga volteada, de derecha a izquierda, no tendríamos ninguna fuerza en este tramo.
Finalmente, obtenemos la expresión para el momento flector generado por el momento Ma (negativo), la reacción Ray por la distancia x (positivo) y la carga triangular (negativo). La distancia entre el centro de gravedad de la carga a la sección de análisis es igual a (x-1).
\left. {M\left( x \right)} \right|_b^c = – Ma + Ray \cdot x – \dfrac{{q \cdot 3}}{2} \cdot \left( {x – 1} \right) = – 15 + 15x – \dfrac{{10 \cdot 3}}{2} \cdot \left( {x – 1} \right) = 0\;kNm
El momento flector en este tramo es nulo, siguiendo el mismo razonamiento visto anteriormente para el cortante.
3. Representación de los diagramas de esfuerzo
El último paso para acabar un ejercicio de este tipo es representar los diagramas para los tres esfuerzos. Este paso es muy sencillo, ya que únicamente consiste en graficar las funciones que hemos obtenido en el apartado anterior para cada esfuerzo en función de la posición x de la viga.
Si observamos las leyes obtenidas, cuando las cargas aplicadas en la viga son distribuidas triangulares, la ley de cortante sigue una distribución parabólica, mientras que la ley de momento flector es un polinomio de grado 3.
Como única consideración importante, hay que destacar que, por cuestiones de criterio, la ley de momentos se representa invertida. Esto es, el eje de ordenadas (eje y) tiene sentido contrario, por lo que los valores positivos se representan debajo del eje, y los negativos por encima.
- Se observa como el esfuerzo axil es nulo en toda la viga, al no existir cargas aplicadas en dirección paralela al eje longitudinal de la viga.
- El esfuerzo cortante sigue una distribución parabólica en el tramo a-b, siendo máximo en el empotramiento y nulo en el tramo b-c.
- El diagrama de momento flector sigue una distribución polinómica de tercer grado en el tramo a-b, siendo nulo en el tramo b-c. Podemos comprobar como el máximo momento se produce en la sección del empotramiento.
- Además, existe una relación directa entre la ley de cortante y de momento flector. La ley de cortante es la derivada del momento flector.
Si quieres aprender más cómo analizar vigas de este tipo y resolver otros ejemplos, aquí tienes este vídeo!!!