Se llama ecuación diferencial de orden \boldsymbol{n} a toda ecuación de la forma
a_n(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=g(t)\qquad {\color{blue}(1)}
donde a_0, a_1,\ldots, a_n, g son funciones definidas en un intervalo de números reales I.
Las funciones a_0, a_1,\ldots,a_n se llaman coeficientes de la ecuación y la función g se llama término independiente.
La ecuación
a_n(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=0,\qquad{\color{blue}(2)}
se llama ecuación homogénea asociada a la ecuación (1).
Teorema: Si las funciones a_0, a_1,\ldots, a_n y g son continuas en un intervalo I de números reales y t_0 es un punto cualquiera de dicho intervalo entonces para cualquier vector (c_0,c_1,c_2,\ldots, c_{n-1})\in \mathbb R^n existe una única solución de la ecuación (1) que satisface las condiciones iniciales
y(t_0)= c_0, y'(t_0)=c_1,\ldots, y^{(n-1)}(t_0) = c_{n-1}.
En otras palabras, el problema de Cauchy
\left\{\begin{aligned} & a_n(t) y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots+a_0(t)y = g(t), \\ & y(t_0)= c_0,\\ & y'(t_0) = c_1,\\ & \vdots \\ & y^{(n-1)}(t_0)= c_{n-1}\end{aligned}\right.
tiene solución única.
Se cumple que:
- La solución general de una ecuación lineal homogénea tiene estructura de espacio vectorial sobre \mathbb R de dimensión n. Luego si conocemos n funciones y_1, y_2\ldots,y_n linealmente independientes tendremmos la solución general como combinación lineal de ellas,
- La solución general de la ecuación (1) es la suma de una solución particular y_p y la solución general de la ecuación homogénea asociada (2).
Teorema: Sean y_1, y_2,\ldots,y_n, n funciones solución de una ecuación diferencial (2), lineal homogénea y de orden n en un intervalo I. Si a_0, a_1,\ldots, a_{n-1} son continuas, el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y solo si
W({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n})(t) = \begin{array}{|cccc|} {{y_1}(t)}&{{y_2}(t)}& \cdots &{{y_n(t)}} \\ {y{'_1}(t)}&{{y'_2}(t)}& \cdots &{{y'_n}(t)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{y_1}^{(n – 1)}(t)}&{{y_2}^{(n – 1)}(t)}& \cdots &{{y_n}^{(n – 1)}(t)} \end{array}\neq0
para todo t\in I.
Vamos a buscar técnicas para resolver las ecuaciones del tipo (1) donde las funciones coeficientes a_0, a_1,\ldots,a_n son constantes. Comenzaremos buscando las soluciones de la ecuación homogénea en la que podemos dividir por a_n, es decir, ecuaciones del tipo
y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0.
Resolución de la ecuación lineal homogénea
Se llama polinomio característico asociado a la ecuación diferencial a
P(r) = r^n + a_{n-1} r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0.
Se llama ecuación característica asociada a la ecuación P(r)=0.
Comenzamos viendo las soluciones de la ecuación de grado dos.
y''+a_1y'+a_0y=0.
cuyo polinomio característico P(r)=r^2+a_1r+a_0 que puede tener dos raíces reales distintas, una raíz real doble o dos raíces complejas conjugadas.
- Caso I: Dos raíces reales distintas: \lambda_1 y \lambda_2, \lambda_1\neq\lambda_2.
Las funciones
y_1(t)=e^{\lambda_1t}\quad\text{e}\quad y_2(t)=e^{\lambda_2t}
son dos soluciones independientes de la ecuación y su solución es
y_h(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.
Ejemplo: Solución general de la ecuación y''-5y'+6y=0.
El polinomio característico es r^2-5r+6=(r-2)(r-3) cuyas raíces son r=2 y r=3 reales simples. La solución es
y(t)=c_1e^{2t}+c_2e^{3t},\qquad c_1,c_2\in\mathbb R.
- Caso II: Una raíz real \lambda doble.
Las funciones
y_1(t)=e^{\lambda t}\quad\text{e}\quad y_2(t)=te^{\lambda t}
son dos soluciones independientes de la ecuación y su solución es
y_h(t)=c_1e^{\lambda t}+c_2te^{\lambda t}\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.
Ejemplo: Solución general de la ecuación y''-8y'+16y=0.
El polinomio característico es r^2-8r+16=(r-4)^2 cuyas raíces son r=4 doble. La solución es
y(t)=c_1e^{4t}+c_2te^{4t},\qquad c_1,c_2\in\mathbb R.
- Caso III: Dos raíces complejas conjugadas a+bi y a-bi.
Las funciones
y_1(t)=e^{at}\cos(bt)\quad\text{e}\quad y_2(t)=e^{a t}\operatorname{sen}(bt)
son dos soluciones independientes de la ecuación y su solución es
y_h(t)=c_1e^{at}\cos(bt)+c_2e^{a t}\operatorname{sen}(bt)\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.
Ejemplo: Solución general de la ecuación y''-2y'+5y=0.
La ecuación característica es r^2-2r+5=0
r = \dfrac{{2 \pm \sqrt {4 – 20} }}{2} = \dfrac{{2 \pm \sqrt { – 16} }}{2} = \dfrac{{2 \pm 4i}}{2} = 1 \pm 2i,
la solución es
y(t)=c_1e^t\cos2t+c_2e^t\operatorname{sen}2t,\qquad c_1,c_2\in\mathbb R.
Soluciones de la ecuación de grado n\geq3
El procedimiento es análogo. Sea el polinomio característico
P(r)=a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0
- \star Si \lambda es una raíz real con multiplicidad m\geq1 las funciones
y_1(t)=e^{\lambda t},\; y_2(t)=te^{\lambda t},\ldots,y_m(t)=t^{m-1}e^{\lambda t}
son soluciones linealmente independiente de la ecuación.
- \star Si \lambda=a+bi es una raíz compleja con multiplicidad m las funciones
e^{at}\cos(bt),\;t e^{at}\cos(bt),\,\ldots,t^{m-1} e^{at}\cos(bt), e^{at}\operatorname{sen}(bt),\;t e^{at}\operatorname{sen}(bt),\,\ldots,t^{m-1} e^{at}\operatorname{sen}(bt)
son 2m soluciones linealmente independientes de la ecuación.
Ejemplos:
- Solución general de la ecuación y'''-y''-y'+y=0.
La ecuación característica asociada es r^3-r^2-r+1=0 cuyas soluciones son \lambda=1 (doble) y \lambda=-1 (simple).
La solución general de la ecuación diferencial es
y_h(t)=c_1e^t+c_2te^t+c_3e^{-t},\quad c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}.
- Solución general de la ecuación y'''-y=0
El polinomio característico es r^3-1=(r-1)(r^2+r+1), una solución es r=1 y por lo tanto y_1=e^t.
\begin{gathered}{r^2} + r + 1 = 0 \\ r = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {1 – 4} }}{2} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt { – 3} }}{2} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 3 i}}{2}, \end{gathered}
La solución es
y_h(t) = c_1e^t+{c_2}{e^{ – \frac{t}{2}}}\cos \dfrac{\sqrt 3}{2} t + {c_3}{e^{ – \frac{t}{2}}}\operatorname{sen}\dfrac{\sqrt 3}{2} t,\quad c_1,c_2,c_3\in \mathbb R.
- Solución general de la ecuación y^{(iv)}+8y''+16y=0
El polinomio característico es r^4+8r^2+16=(r^2+4)^2=(r+2i)^2(r-2i)^2 luego las raíces son complejas, \pm 2i y de multiplicidad 2. La solución es
y_h(t)=c_1\cos2t+c_2\operatorname{sen}2t +c_3t\cos2t+c_4t\operatorname{sen}2t,\quad c_1,c_2,c_3,c_4\in \mathbb R.
Resolución de la ecuación lineal completa
Para hallar la solución general de la ecuación lineal completa debemos obtener la solución general de la ecuación homogénea, y_h(t), y una solución particular de la ecuación completa y_p(t). La suma de ambas será la solución.
y(t)=y_h(t)+y_p(t).
Veremos dos métodos utilizados para el cálculo de una solución particular de el ecuación diferencial completa.
Método de variación de las constantes
El método de variación de las constantes permite hallar una solución particular de de la ecuación diferencial completa de orden n cuando se conocen n soluciones linealmente independientes de la ecuación lineal homogénea asociada.
Teorema (Lagrange): Sean y_1,\ldots,y_n soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea
Ejemplo: Resolver la ecuación y''+4y=\dfrac{1}{\cos2t}.
Paso 1: Resolvemos la ecuación homogénea.
El polinomio característico asociado es P(r)=r^2+4=(r+2i)(r-2i) que tiene como raíces \pm 2i y dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea son
y_1(t)=\cos2t,\quad y_2(t)=\operatorname{sen}2t.
Paso 2: Calculamos W(t)^{-1}=\dfrac{1}{ \left| {W(t)} \right|}\left[Adj(W(t))\right]^t.
\left. \begin{gathered} W(t) = \left( {\begin{array}{cc} {\cos 2t} & {\operatorname{sen} 2t} \\ { – 2\operatorname{sen} 2t} & {2\cos 2t} \\ \end{array} } \right) \\ \left| {W(t)} \right| = 2{\cos ^2}2t + 2{\operatorname{sen} ^2}2t = 2 \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow W{(t)^{ – 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {\begin{array}{cc} {2\cos 2t} & { – \operatorname{sen} 2t} \\ {2\operatorname{sen} 2t} & {\cos 2t} \\ \end{array} } \right)
Paso 3: Calculamos la función v.
v(t) = \dfrac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} {2\cos 2t} & { – \operatorname{sen} 2t} \\ {2\operatorname{sen} 2t} & {\cos 2t} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 0 \\{\dfrac{1}{{\cos 2t}}} \\ \end{array} \right) = \dfrac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} { – \dfrac{{\operatorname{sen} 2t}}{{\cos 2t}}} \\ 1 \end{array} \right)
Paso 4: Integramos las componentes de v.
v_1(t)=\displaystyle\dfrac12\int{ – \dfrac{{\operatorname{sen} 2t}}{{\cos 2t}}}dt=\dfrac14\ln\vert \cos2t\vert
v_2(t)=\displaystyle\dfrac12\int1dt=\dfrac{t}{2}
Una solución particular de la ecuación completa es
y_p(t)=y_1(t)v_1(t)+y_2(t)v_2(t)=\dfrac14\cos2t\cdot\ln\vert \cos2t\vert+\operatorname{sen}2t\cdot\dfrac{t}{2}.
La solución general de la ecuación propuesta es
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1\cos2t+C_2\operatorname{sen}2t+\dfrac14 \cos2t\ln\vert\cos2t\vert+\dfrac{t}{2}\operatorname{sen}2t
donde C_1, C_2\in\mathbb{R}.
Métodos de los coeficientes indeterminados
El método de variación de las constantes aunque útil es, a veces, muy engorroso. Cuando la función g(t) es una función de la forma
g(t) = e^{at}\left(P_j(t)\cos (bt)+Q_k(t) \operatorname{sen} (bt)\right)
es más práctico el método de los coeficientes indeterminados que consiste en probar como solución una función similar a la función g(t) multiplicada por t^m siendo m la multiplicidad de a+bi como raíz de la ecuación característica asociada.
Teorema: Sea g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} una función definida por una expresión del tipo
g(t)=e^{at}\left(P_p(t)\cos(bt)+Q_q(t)\operatorname{sen}(bt)\right)
donde a y b son constates y P_p y Q_q son polinomios de grados p y q respectivamente, y sea la ecuación diferencial
a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=g(t)
entonces
- Si el número a+bi no es raíz de su polinomio característico, la ecuación diferencial admite una solución de la forma
y(t)= e^{at} \left(P_r^*(t) \cos (bt)+Q_r^*(t) \operatorname{sen} (bt)\right),
donde P^*_r y Q^*_r son polinomios de grado menor o igual que r=\max\{p,q\}.
- Si el número a+bi es raíz de su polinomio característico de multiplicidad m, la ecuación diferencial admite una solución de la forma
y(t)= t^{m} e^{at} \left(P_r^*(t) \cos (bt)+Q_r^*(t)\operatorname{sen} (bt)\right),
donde P^*_r y Q^*_r son polinomios de grado menor o igual que r=\max\{p,q\}.
El método nos viene a decir que planteemos una función similar a la función g(t) con los coeficientes indeterminados necesarios. Después, si el número a+bi es solución de la ecuación característica de multiplicidad m la multiplicamos por t^m.
También hemos de terner en cuenta que si en la función g(t) aparece una función seno o una función coseno en la solución propuesta hemos de poner ambas de forma simultánea.
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial y''+y=t\operatorname{sen} t.
Resolvemos la ecuación homogénea.
El polinomio característico asociado es P(r)=r^2+1=(r+i)(r-i) que tiene como raíces \pm i. La ecuación homogénea tiene como solución
y_h(t)=c_1\cos t+c_2\operatorname{sen}t,\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.
Para calcular una solución particular planteamos una solución con la función que tenemos
g(t)=t\operatorname{sen}t\to e^{0t}\left[(At+B)\operatorname{sen} t+(Ct+D)\cos t\right]
entonces a+bi=0+1\cdot i=i que es solución de multiplicidad 1 de la ecuación característica, por lo que, debemos multiplicarla por t. Proponemos pues
y_p(t)=t\cdot \left[(At+B)\operatorname{sen} t+(Ct+D)\cos t\right]=(At^2+Bt)\operatorname{sen} t+(Ct^2+Dt)\cos t
Ahora imponemos la ecuación diferencial y calculamos os coeficientes.
\begin{darray}{rl}y'{_p}(t) &= (2At + B)\operatorname{sen} t + (A{t^2} + Bt)\cos t + (2Ct + D)\cos t – (C{t^2} + Dt)\operatorname{sen} t \\ & = \left[ { – C{t^2} + (2A – D)t + B} \right]\operatorname{sen} t + \left[ {A{t^2} + (B + 2C)t + D} \right]\cos t\\\end{darray},\begin{darray}{rl}y''_p(t) &= \left[ { – 2Ct + 2A – D} \right]\operatorname{sen} t + \left[ { – C{t^2} + (2A – D)t + B} \right]\cos t \\ &+ \left[ {2At + B + 2C} \right]\cos t – \left[ {A{t^2} + (B + 2C)t + D} \right]\operatorname{sen} t \\ & = \left[ { – A{t^2} – (B – 4C)t + 2A – 2D} \right]\operatorname{sen} t + \left[ { – C{t^2} + (4A – D)t + 2B + 2C} \right]\cos t,\\\end{darray}
y''{_p}(t) + {y_p}(t) = ( – 4Ct + 2A – 2D)\operatorname{sen} t + (4At + 2B + 2C)\cos t
\left. \begin{gathered} – 4C = 1 \\2A – 2D = 0 \\4A = 0\\2B + 2C = 0 \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \;C = – \dfrac{1}{4},\;A = D = 0,\;B = \dfrac{1}{4}.
Así y_p(t)=\dfrac14t\operatorname{sen} t-\dfrac14 t^2\cos t y la solución general es
\boxed{\color{blue}y_g(t)=c_1\cos t+c_2\operatorname{sen} t+\frac14t\operatorname{sen} t-\frac14 t^2\cos t,\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.}