Consideremos la ecuación diferencial de primer orden
P(t,y)+Q(t,y)y'= 0,\qquad{\color{blue}(1)}
donde P y Q son funciones con derivadas parciales continuas en un rectángulo abierto D\subset\mathbb{R}^2. Se dice que la ecuación es exacta si existe una función f:D\longrightarrow\mathbb{R} tal que \nabla f(t,y) = \left(P(t,y), Q(t,y)\right), para todo (t,y)\in D, o equivalentemente, \dfrac{\partial f}{\partial t}(t,y) = P(t,y) y \dfrac{\partial f}{\partial y}(t,y) = Q(t,y),\text{ para todo }(t,y)\in D.
Si la ecuación (1) es exacta entonces la solución general de dicha ecuación viene dada por medio de la expresión implícita f(t,y) = C,\,\,C \text{ constante}, donde f es una función tal que \nabla f= (P,Q).
Si la ecuación (1) es exacta entonces se tiene necesariamente la igualdad
\dfrac{\partial P}{\partial y}(t,y) = \dfrac{\partial Q}{\partial t}(t,y), \text{ para todo } (t,y)\in D.
En efecto, asumamos la existencia de una función f tal que \dfrac{\partial f}{\partial t} = P y \dfrac{\partial f}{\partial y} = Q. Derivando la primera igualdad con respecto a y y la segunda con respecto a t resulta
\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial t \partial y}\text{ y }\dfrac{\partial Q}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial t}.
Y haciendo uso del Teorema de Euler sobre la igualdad de las derivadas parciales cruzadas se obtiene la condición de exactitud dada.
\boxed{\color{red}\dfrac{\partial P}{\partial y}(t,y) = \dfrac{\partial Q}{\partial t}(t,y).}
Una vez que sabemos que la ecuación (1) es exacta, nuestro problema consiste en encontrar o una función f tal que \nabla f = (P,Q).
Veamos cómo puede hacerse esto.
- Como \dfrac{\partial f}{\partial t}(t,y)=P(t,y), integrando respecto de t se calcula
g(t,y)=\displaystyle\int P(t,y)dt
y entonces
f(t,y)=g(t,y) +\alpha(y) \qquad {\color{blue}(2)}
- Derivamos respecto de y tenemos
\displaystyle\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(t,y) = Q(t,y) = \frac{{\partial g}}{{\partial y}}(t,y) + \alpha '(y)\Rightarrow\alpha '(y) = Q(t,y) – \frac{{\partial g}}{{\partial y}}(t,y)
- Integrando respecto de y calculamos \alpha(y).
- Con esta expresión se completa la función f(t,y) en (2).
Obviamente podemos realizar la resolución integrando la función Q(t,y) con respecto de la variable y y entonces la función \alpha solo dependerá de la variable t y realizar un proceso simétrico para su cálculo.
Ejemplo: Hallar el valor de a para que la ecuación
t+ye^{2ty}+7ate^{2ty}y'=0
sea exacta, y resolverla en ese caso.
En este caso P(t,y) = t + y{e^{2ty}} y Q(t,y) = 7at{e^{2ty}}.
\begin{gathered} P(t,y) = t + y{e^{2ty}} \Rightarrow \frac{{\partial P}}{{\partial y}}(t,y) = {e^{2ty}} + 2ty{e^{2ty}} = {e^{2ty}}(1 + 2ty) \\[0.5em] Q(t,y) = 7at{e^{2ty}} \Rightarrow \frac{{\partial Q}}{{\partial t}}(t,y) = 7a{e^{2ty}} + 14aty{e^{2ty}}=e^{2ty}(7a+14aty) \end{gathered}
De donde 7a=1 y a=\dfrac{1}{7}.
Entonces nuestra ecuación es
t+ye^{2ty}+te^{2ty}y'=0.
Ahora elegimos integrar primero la función Q(t,y) con respecto de y que es más sencilla.
\displaystyle f(t,y)=\int te^{2ty}dy+\alpha(t)=\frac{1}{2}e^{2ty}+\alpha(t),
\displaystyle\frac{{\partial f}}{{\partial t}}(t,y) =P(t,y)\Rightarrow y{e^{2ty}} + \alpha '(t) = t + y{e^{2ty}} \Rightarrow \alpha '(t) = t \Rightarrow \alpha (t) = \frac{{{t^2}}}{2}.
la solución de la ecuación es por lo tanto
\frac{1}{2}e^{2ty}+\frac{t^2}{2}=C,\quad C\in\mathbb{R},
que podemos expresar como
\boxed{\color{blue}e^{2ty}+t^2=2C,\quad C\in\mathbb{R}}.
Ejemplo: Resolver el problema de Cauchy
\left\{\begin{array}{l} \dfrac{ty}{\sqrt{1+t^2}}+2t+(\sqrt{1+t^2}+2y)y'=0,\\ y(0)=1. \end{array}\right.
Si P(t,y)=\dfrac{ty}{\sqrt{1+t^2}}+2t y Q(t,y)=\sqrt{1+t^2}+2y , tenemos
\left. \begin{gathered} \frac{{\partial P}}{{\partial y}}(t,y) = \frac{t}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} \\[0.5em] \frac{{\partial Q}}{{\partial t}}(t,y) = \frac{t}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} \\[0.5em] \end{gathered} \right\} \Rightarrow \dfrac{{\partial P}}{{\partial y}}(t,y) = \dfrac{{\partial Q}}{{\partial t}}(t,y).
Se trata de una ecuación diferencial exacta.
\displaystyle f(t,y) = \int {Q(t,y)dy} = \int {\left( {\sqrt {1 + {t^2}} + 2y} \right)dy = y\sqrt {1 + {t^2}} + {y^2} + \alpha (t),}
\displaystyle\dfrac{{\partial f}}{{\partial t}}(t,y) = P(t,y) \Rightarrow \dfrac{{ty}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} + \alpha '(t) = \dfrac{{ty}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} + 2t,
\displaystyle\alpha(t)=\int 2tdt=t^2,
de este modo
f(t,y)= y\sqrt {1 + {t^2}} + {y^2}+t^2
y la solución es
t^2+y^2+y\sqrt{1+t^2}=C,\quad C\in\mathbb{R}.
Como y(0)=1, C=2. Obtenemos
\boxed{\color{blue}t^2+y^2+y\sqrt{1+t^2}=2.}
Si quieres reforzar lo aprendido, aquí tienes un vídeo con más ejemplos resueltos!!!