Las deformaciones que sufren las vigas debido a las cargas aplicadas deben ser evaluadas y controladas dentro de unos límites de seguridad. Para ello existen diferentes métodos de cálculo y análisis de desplazamientos y giros. En este artículo explicamos en qué consiste y cómo utilizar el método de la carga unidad o método de la carga ficticia. También tenemos un vídeo explicativo y con otros ejemplos resueltos al final del artículo.
Si tenéis dudas sobre algún concepto previo u os estáis iniciando en el cálculo de vigas, os recomendamos ojear este artículo previo.
1. Giros y desplazamientos en vigas
En primer lugar, es necesario establecer qué entendemos por deformaciones en una viga. Una deformación es toda aquella alteración de la geometría de la viga, respecto de su estado inicial, debido a la aplicación de una carga. Las deformación se clasifican en:
- Desplazamientos: se refieren a traslados de posición, verticales u horizontales, de una sección concreta de la viga, con respecto a su posición inicial (antes de la aplicación de la carga). El término flecha suele utilizarse para referirse a desplazamientos verticales (dirección perpendicular al eje de la viga), indicando la distancia entre la fibra neutra de la viga inicial y la fibra neutra de la viga deformada.
- Giros: rotación de una sección de la viga con respecto de la posición inicial (antes de la aplicación de la carga). Se define mediante el ángulo que existe entre la tangente de la directriz de la viga inicial (dirección del eje de la viga) y la directriz de la viga deformada. Si el giro se produce en sentido horario se tomará como negativo, siendo positivo el sentido antihorario.
2. Explicación del método de la carga unidad
El método de la carga unidad es muy útil cuando queremos obtener desplazamientos en cualquier dirección y giros en una sección concreta de la viga. Este procedimiento es sencillo y puede aplicarse en cualquier tipo de viga. Sin embargo, no permite obtener una descripción de la viga deformada completa, como sí aporta el método de integración de la elástica. Por ello, será necesario repetir el procedimiento cada vez que se necesite obtener una deformación en cada sección distinta de la viga.
El método se basa en el cálculo de un estado ficticio de carga en la viga que estamos analizando, basado en la colocación de una carga unidad (si queremos calcular un desplazamiento) o de un momento de giro unidad (si queremos obtener un giro) en la sección evaluada. En este método, el sentido positivo quedará definido por el sentido de la carga unidad. Por lo tanto, si tras el cálculo el resultado es negativo, el sentido de la deformación será contrario al planteado.
Los pasos para llevar a cabo el método de la carga unidad son los siguientes:
- Cálculo de la viga real con el estado de carga real aplicado, obteniendo las leyes de esfuerzo. A este estado lo nombraremos como estado 0.
- Cálculo del estado ficticio o estado virtual con la carga unidad o momento unidad aplicados. Será necesario situarlos en la sección que se quiere analizar, obteniendo las leyes de esfuerzo en todos sus tramos. A este estado lo nombraremos como estado I.
- Aplicación de la siguiente fórmula, multiplicando las leyes de esfuerzo del estado 0 por las leyes de esfuerzo del estado I en cada uno de sus tramos. El resultado será un valor positivo o negativo que indica si el sentido de la deformación, Δ, coincide con el planteado o es contrario.
\Delta = \int {\dfrac{{{N_0} \cdot {N_I}}}{{EA}}dx} + \int {\dfrac{{{M_0} \cdot {M_I}}}{{EI}}dx} + \int {\dfrac{{{V_0} \cdot {V_I}}}{{G{A_R}}}dx} + \int {\dfrac{{{T_0} \cdot {T_I}}}{{G{I_P}}}dx}
En esta fórmula, N representa el esfuerzo axial, M, el momento flector, V, el esfuerzo cortante, y T, el momento torsor. E es el módulo elástico, A, el área de la sección, I, el momento de inercia de la sección y G es el módulo de elasticidad transversal.
Sin embargo, ¡y aquí viene la buena noticia!…en la mayoría de los casos es posible reducir el cálculo simplificando la fórmula. En la mayoría de vigas, el momento flector es el esfuerzo predominante, que genera mayores tensiones y, por lo tanto, que más contribuye en las deformaciones de la viga. Por ello, es posible eliminar el resto de términos de la fórmula por ser despreciables. Así, únicamente necesitaremos obtener las leyes de momento flector en ambos estados (real y ficticio) de la viga, sin necesidad de calcular el resto de esfuerzos.
\Delta = \int {\dfrac{{{M_0} \cdot {M_I}}}{{EI}}dx}
Por otro lado, en caso de estructuras articuladas, únicamente existe esfuerzo axial.
\Delta = \int {\dfrac{{{N_0} \cdot {N_I}}}{{EA}}dx}
3. Aplicación en un ejercicio
Para entender el método, vamos a aplicarlo para resolver un caso sencillo.
Obtener el desplazamiento vertical en la sección e de esta viga isostática biapoyada utilizando el método de la carga unidad. El material es acero S275 (E = 210000 MPa) y el perfil de la viga es IPE 120 (I = 318 cm^4).
En primer lugar, se plantean los dos estados de carga. El estado 0 corresponde a la viga con las cargas reales aplicadas. El estado I define la aplicación de la carga unidad en la sección e. Como se quiere obtener un desplazamiento, se utilizará una fuerza ficticia. Por criterio, el sentido de la carga será hacia abajo. Como se muestra en la imagen, esta carga unidad no tiene unidades.
Seguidamente, hay que resolver ambas vigas, calculando las reacciones y obteniendo las leyes de momento flector en cada uno de sus tramos.
Cálculo de la viga real (estado 0)
Esta viga se encuentra resuelta en un artículo previo, donde se han obtenido las reacciones, las leyes de esfuerzo y representado los diagramas de esfuerzo. Podéis revisar cómo se resuelve en el siguiente enlace.
Aquí mostraremos simplemente los resultados para las leyes de momento flector de los tres tramos de la viga.
- Tramo a-b
\left. {M\left( x \right)} \right|_a^b = Ray \cdot x = 4,14x\;kNm
- Tramo b-c
\left. {M\left( x \right)} \right|_b^c = Ray \cdot x – 5 \cdot \left( {x – 2} \right) = – 0,86x + 10\;kNm
- Tramo c-d
\left. {M\left( x \right)} \right|_c^d = Ray \cdot x – 5 \cdot \left( {x – 2} \right) – 2 \cdot \left( {x – 5} \right) = – 2,86x + 20\;kNm
Cálculo de la viga con la carga unidad (estado I)
Seguidamente se resuelve la viga con el estado ficticio, comenzando por la obtención de las reacciones en los apoyos. Como se trata de una viga isostática, puede resolverse directamente planteando las ecuaciones de equilibrio estático: equilibrio de fuerzas horizontales y verticales y equilibrio de momentos.
\begin{array}{l} \sum {{F_x}} = 0 \to Rax = 0 \\\\\sum {{F_y}} = 0 \to Ray + Rdy – 1 = 0 \\\\\sum M = 0 \to 7 \cdot Rdy – 3,5 \cdot 1 = 0 \\\end{array}
Resolviendo el sistema se obtiene Rax = 0, Ray = 0,5 y Rdy = 0,5. ¡Ojo! Estas reacciones tampoco tienen unidades al igual que la carga unidad, se trata de un estado ficticio, no real.
Para la determinación de la ley de momento flector se divide la viga en dos tramos, a-e y e-d, coincidiendo con la sección de aplicación de la carga unidad. La distancia x indica la posición de la sección analizada con respecto al extremo inicial, a, de la viga.
Tramo a-e
El momento flector es generado por la reacción Ray, multiplicado por la distancia x hasta la sección analizada. Genera un momento en sentido positivo.
\left. {M\left( x \right)} \right|_a^e = Ray \cdot x = 0,5 x\;m
Tramo e-d
Al momento anterior generado por la reacción Ray hay que añadir el momento negativo generado por la carga unidad, la cual se multiplica por (x-3,5).
\left. {M\left( x \right)} \right|_e^d = Ray \cdot x -1 \cdot (x-3,5) = 3,5 – 0,5 x\;m
La ley de momentos en el estado I tienen unidades de longitud (no kNm). Esto tiene sentido, ya que las cargas aplicadas y, por lo tanto, las reacciones, no tienen unidades.
Obtención del desplazamiento vertical en e aplicando la fórmula
Como ya conocemos la ley de momento flector en cada tramo de la viga real (estado 0) y del caso ficticio (estado I) podemos aplicar la fórmula anteriormente explicada para determinar el desplazamiento vertical en la sección e. Como se trata de una viga sometida a esfuerzos de flexión, que son los predominantes, únicamente haremos uso de este esfuerzo para el cálculo, obviando el axil y el cortante.
Teniendo en cuenta los tramos de la viga real y de la viga ficticia, aparecerán 4 tramos para la aplicación de la fórmula: a-b, b-e, e-c y c-d.
\delta _y^b = \int_a^d {\dfrac{{{M_0} \cdot {M_I}}}{{EI}}dx} = \dfrac{1}{{EI}} \cdot [\int_0^2 {4,14x \cdot 0,5x\,dx} + \int_2^{3,5} {\left( { – 0,86x + 10} \right) \cdot 0,5x\,dx}
+ \int_{3,5}^5 {\left( { – 0,86x + 10} \right) \cdot \left( {3,5 – 0,5x} \right)\,dx} + \int_5^7 {\left( { – 2,86x + 20} \right) \cdot \left( {3,5 – 0,5x} \right)\,dx}]=
= \dfrac{1}{{EI}} \cdot \left[ {\dfrac{{138}}{{25}} + \dfrac{{12501}}{{800}} + \dfrac{{5283}}{{400}} + \dfrac{{569}}{{150}}} \right] = \dfrac{{38,147 \cdot {{10}^{12}}}}{{210000 \cdot 318 \cdot {{10}^4}}}\; = 57,12\;mm
Como el resultado es positivo, el desplazamiento se produce en el mismo sentido que el planteado por la carga unidad. Por lo tanto, la sección e se desplaza hacia abajo 57,12 mm.
NOTA: es importante entender las potencias en base 10 que aparecen multiplicando a los términos al final del cálculo. La fórmula da como resultado una longitud, por lo que debemos trabajar con las unidades para que resulten metros, centímetros o milímetros. En el denominador tenemos el módulo elástico, E, en MPa, es decir N/mm², y la inercia del perfil, I. Como está en cm^4, se multiplica por 10^4 para pasarla a mm^4. El número del numerador representa la multiplicación de M_0\cdot M_I\cdot dx, cuyas unidades respectivas son kNm, m y m. Para pasar a N y mm aparece la multiplicación por 10^{12}. Así, todos los términos están expresados en N y mm, dando como resultado una longitud en mm.
Por último, no te pierdas el siguiente vídeo con animaciones donde también resolvemos otros ejemplos.