El estudio de diversos problemas de la Físicas, como el de la cuerda vibrante y el de la propagación del calor, indujo a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) y coetéaneos suyos a pensar que una función periódica f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} con período 2\pi, integrable en el intervalo [-\pi,\pi], admite una representación como suma infinita de senos y cosenos, es decir,
\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n = 1}^\infty{(a_n\cos nx+b_n\operatorname{sen} nx)}.
donde a_0, a_n y b_n son números reales llamados coeficientes de Fourier.
Para calcular la expresión de los coeficientes integramos en [-\pi,\pi] obteniendo:
\boxed{\displaystyle a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx} \boxed{\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx} \boxed{\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\operatorname{sen} nx\,dx}
Si f presenta simetría par o impar, el calculo de los coeficientes de los coeficientes de la serie de Fourier se simplifica mucho de manera que:
- Si f es par b_n=0 para todo n\in\mathbb{N} y sólo hay que calcular a_0 y a_n.
Además, por la paridad de f y de \cos nx,
\displaystyle a_n=\frac2{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\,dx.
- Si f es impar a_n=0 para todo n\in\mathbb{N} y sólo hay que calcular b_n.
Además, por ser impar f y \operatorname{sen} nx,
\displaystyle b_n=\frac2{\pi}\int_0^\pi f(x)\operatorname{sen} nx\,dx.
En el cálculo de los coeficientes aparecen con asiduidad las expresiones
\cos n\pi=(-1)^n,\quad\operatorname{sen} n\pi=0\, \quad\operatorname{sen}\left((2n-1)\frac{\pi}{2}\right)=(-1)^{n-1}\quad n=1,2, \ldots
Ejemplo: Hallar la serie de Fourier de la función periódica de periodo 2\pi que se extiende al prolongar a toda la recta real la función definida por
f(x) = \left\{ {\begin{array}{rr} { – 1}&{ – \pi \leqslant x < 0} \\ 1&{0 < x \leqslant \pi } \end{array}} \right.
Como f(-x)=-f(x) la función es impar y a_n=0 para todo n. Calculamos los coeficientes b_n.
\begin{darray}{rl} {b_n} &= \frac{2}{\pi }\int_0^\pi {f(x)\operatorname{sen} xdx} = \frac{2}{\pi }\int_0^\pi {\operatorname{sen} nxdx} = \frac{2}{\pi }\left[ {\frac{{ – \cos nx}}{n}} \right]_0^\pi \\[0.5em] &= \frac{2}{{n\pi }}\left( { – {{( – 1)}^n} + 1} \right) = \frac{{2\left( {1 – {{( – 1)}^n}} \right)}}{{n\pi }}, \end{darray}
y la serie de Fourier es
\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty{\frac{{2\left( {1 – {{( – 1)}^n}} \right)}}{{n\pi }}}\operatorname{sen} nx.
Ahora bien, si n es par (-1)^n=1 y los coeficientes son cero. Si n es impar, e decir lo podemos expresar como 2n-1 entonces (-1)^{2n-1}=-1 y los coeficientes valen \dfrac{4}{(2n-1)\pi }. El desarrollo es
\begin{darray}{rl}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{4}{{\pi (2n – 1)}}\operatorname{sen} (2n – 1)x} &= \frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{\operatorname{sen} (2n – 1)x}}{{2n – 1}}}= \frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\operatorname{sen} (2n – 1)x}}{{2n – 1}}}\\[1em] &= \frac{4}{\pi }\left( {\frac{{\operatorname{sen} x}}{1} + \frac{{\operatorname{sen} 3x}}{3} + \frac{{\operatorname{sen} 5x}}{5} + \cdots } \right).\end{darray}
Serie de Fourier de una función con periodo arbitrario
Las funciones que hemos considerado hasta ahora tienen período 2\pi. Pero con frecuencia se presenta el problema de representar una función f con período distinto, digamos 2T, como suma infinita de funciones de la forma
\cos\left(\dfrac{nx}{2T}\right) \text{ y } \operatorname{sen} \left(\dfrac{nx}{2T}\right).
En este caso para el cálculo de los coeficientes se obtiene
\boxed{\displaystyle a_0=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(x)dx.} \boxed{\displaystyle{a_n} = \frac{1}{T}\int_{ – T}^T {f(x)\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{T}} \right)dx}} \boxed{\displaystyle{b_n} = \frac{1}{T}\int_{ – T}^T {f(x)\operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi x}}{T}} \right)dx}}
Convergencia puntual de la serie de Fourier
Vemos ahora bajo que condiciones el valor de la serie de Fourier y el valor de la función f coinciden en un punto x.
Definición: Sea f una función acotada definida en el intervalo [a,b]. Se dice que f es de clase \mathcal{C}^1 a trozos en [a,b] si:
- f es derivable en todo punto de [a,b] salvo en una cantidad finita.
- Si x_1<x_2<\cdots<x_n son los puntos donde no existe la derivada de f, entonces f es de clase \mathcal{C}^1 en cada uno de los intervalos [a,x_1], [x_1,x_2],\ldots,[x_n,b].
Teorema (Dirichlet): Sea f una función de clase \mathcal{C}^1 a trozos en el intervalo[-\pi,\pi]. Para todox\in[-\pi,\pi] se tiene
\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n = 1}^\infty{(a_n\cos nx+ b_n\operatorname{sen} nx)}=\dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}.
En particular, si x es un punto de continuidad def
f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n = 1}^\infty{(a_n\cos nx+ b_n\operatorname{sen} nx)}.
Vemos un ejemplo de aplicación de este teorema que nos permite usar las series de Fourier para calcular el valor de algunas series numéricas.
La función definida por f(x) = \left\{ {\begin{array}{rr} { – 1}&{ – \pi \leqslant x < 0} \\ 1&{0 < x \leqslant \pi } \end{array}} \right. es de clase \mathcal{C}^1 en[-\pi,\pi] y hemos visto que la serie de Fourier que se obtiene al extender la función f a la recta real es
\displaystyle\frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\operatorname{sen} (2n – 1)x}}{{2n – 1}}} = \frac{4}{\pi }\left( {\frac{{\operatorname{sen} x}}{1} + \frac{{\operatorname{sen} 3x}}{3} + \frac{{\operatorname{sen} 5x}}{5} + \cdots } \right).
Dando a x el valor\dfrac{\pi}{2}, dondef es continua tenemos
\displaystyle f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 = \frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\operatorname{sen} (2n – 1)\frac{\pi }{2}}}{{2n – 1}}} = \frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{( – 1)}^{n – 1}}}}{{2n – 1}}} ,
de donde
\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{( – 1)}^{n – 1}}}}{{2n – 1}}} = 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi }{4}.
Integral de la serie de Fourier
Si f es una función periódica e integrable y se integra su serie de Fourier término a término entre dos puntos cualesquiera, entonces la serie obtenida converge a la integral de f. En otras palabras, para cada x\in\mathbb{R} se tiene
\displaystyle\int_0^x {f(t)dt} = \frac{{{a_0}x}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\int_0^x {\left( {{a_n}\cos nt + {b_n}\operatorname{sen} nt} \right)dt} } .
Observa que el teorema garantiza la convergencia de la serie de las integrales a la integral de f, incluso aunque la serie de Fourier def no converja a dicha función en cada punto.
Ejemplo: Hallar el desarrollo de Fourier de la función 2\pi-periódica que se obtiene al extender a toda la recta real la función definida en (-\pi,\pi] por medio de la expresión [f(x)=\vert x\vert .
- Calcular la suma de la serie numérica
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2}.
- Integrando el desarrollo obtenido, hallar la suma de la serie numérica
Ahora calculamos el valor de a_n.
\begin{gathered} {a_n} = \frac{2}{\pi }\int_0^\pi {x\cos nxdx} = {\frac{2}{{\pi n}}\left[ {x\operatorname{sen} nx} \right]_0^\pi} – \frac{2}{{\pi n}}\int_0^\pi {\operatorname{sen} nxdx} \\ \left. {\begin{array}{cc} {u = x}&{dv = \cos nxdx} \\ {du = dx}&{v = \frac{1}{n}\operatorname{sen} nx} \end{array}} \right\}\;\quad = \frac{2}{{\pi {n^2}}}\left[ {\cos nx} \right]_0^\pi = \frac{2}{{\pi {n^2}}}\left[ {{{( – 1)}^n} – 1} \right]. \\ \end{gathered}
donde hemos realizado la integración por partes y utilizado que la expresión x\operatorname{sen} nx vale cero en x=0 y en x=\pi.
Entonces a_{2n}=0 pues (-1)^{2n}=1 y a_{2n-1}=-\dfrac{4}{\pi (2n-1)^2}. Como f es continua, obtenemos
\displaystyle\left| x \right| = \frac{\pi }{2} – \frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{{(2n – 1)}^2}}}\cos (2n – 1)x} .
- Haciendo x=0
\displaystyle 0=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{n = 1}^\infty{\frac{1}{(2n-1)^2}},
luego
\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty{\frac{1}{(2n-1)^2}}=\frac{\pi^2}{8}.
- Integrando el desarrollo anterior
\begin{darray}{rl} \int_0^x {f(t)dt}& = \frac{\pi }{2}x – \frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{{(2n – 1)}^2}}}\int_0^x {\cos (2n – 1)tdt} } \\ & = \frac{\pi }{2}x – \frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{{(2n – 1)}^3}}}\operatorname{sen} (2n – 1)x} . \end{darray}
Haciendo x=\dfrac{\pi}{2}, como
\displaystyle\int_0^{\frac{\pi }{2}} {f(t)dt} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {tdt} = \left[ {\frac{{{t^2}}}{2}} \right]_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{{\pi ^2}}}{8},
\displaystyle\frac{{{\pi ^2}}}{8} = \frac{{{\pi ^2}}}{4} – \frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{( – 1)}^{n – 1}}}}{{{{(2n – 1)}^3}}}},
\displaystyle\frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{( – 1)}^{n – 1}}}}{{{{(2n – 1)}^3}}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{4} – \frac{{{\pi ^2}}}{8} = \frac{{{\pi ^2}}}{8},
\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{( – 1)}^{n – 1}}}}{{{{(2n – 1)}^3}}}} = \frac{{{\pi ^3}}}{{32}}.
Desarrollo de una función en senos y cosenos
Dada una función f:[0,L]\longrightarrow\mathbb{R} si definimos la función
g(x) = \left\{ {\begin{array}{cc}{ -f( – x)}&{ – L \leqslant x < 0} \\{f(x)}&{0 \leqslant x \leqslant L}\end{array}} \right.
claramente es una función impar, por lo tanto el desarrollo en series de Fourier sólo tiene términos en senos. Este desarrollo se llama desarrollo en senos de la función f y los coeficientes serán por lo tanto
\displaystyle b_n=\dfrac{2}{L}\int_0^L f(x)\operatorname{sen}\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right).
Si definimos la dunción
g(x) = \left\{ {\begin{array}{cc}{ f( – x)}&{ – L \leqslant x < 0} \\{f(x)}&{0 \leqslant x \leqslant L}\end{array}} \right.
claramente es una función par, por lo tanto el desarrollo en series de Fourier sólo tiene términos en cosenos. Este desarrollo se llama desarrollo en cosenos de la función f y los coeficientes serán por lo tanto
\displaystyle a_n=\dfrac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right).
Estos desarrollos se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.