Series Numéricas

Ejemplos:

• La serie \sum\limits_{n = 1}^\infty{2^n} es divergente.
• La serie \sum\limits_{n = 1}^\infty{(-1)^n} es oscilante.
• La serie \sum\limits_{n = 1}^\infty{\dfrac{1}{2^n}} es convergente.

Serie geométrica

Una serie es geométrica si cada término, menos el primero, se obtiene multiplicando el término anterior por un número fijo r llamado razón.

a_{n+1}=a_n\cdot r

Su término general se puede expresar en función del primer término y la razón. Si el primer término es a_1=a, entonces 

a_n=a\cdot r^{n-1}.

Así,

\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = \sum\limits_{n= 1}^\infty{ar^{n-1}}=a\sum\limits_{n= 1}^\infty{r^{n-1}}.

La suma parcial es 

S_n=\sum\limits_{k= 1}^n{ar^{k-1}}=a\cdot\dfrac{1-r^n}{1-r}

entonces:

• Si \vert r\vert <1 la serie converge pues \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n}=0 y su suma es

S=\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{\text{primer término}}{\text{uno menos la razón}}.

• Si r \geq 1 la serie diverge pues \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n}=+\infty.
• Si r\leq-1 la serie es oscilante.

Ejemplo: La serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{2^{3n}}{7^n}} es divergente pues

\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{{2^{3n}}}}{{{7^n}}}} = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\dfrac{{{2^3}}}{7}} \right)} ^n} = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\dfrac{8}{7}} \right)} ^n}

y se trata de una serie geométrica de razón r=\dfrac{8}{7}>1.

Ejemplo: La serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{\left(\sqrt2\right)^{1-n}} es convergente pues 

\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{1 – n}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n – 1}}}}}

y se trata de una serie geométrica de razón r=\dfrac{1}{\sqrt2}<1.

Teorema: Sean \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n} y \sum\limits_{n= 1}^\infty{b_n} dos series de números reales.

• Si ambas series son convergentes y \alpha y \beta son números reales, la serie de término general \{\alpha a_n+\beta b_n\}_n es también convergente y \sum\limits_{n= 1}^\infty{(\alpha a_n+\beta b_n)}=\alpha \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n}+\beta \sum\limits_{n= 1}^\infty{b_n}.
• Si a_n=b_n para todo n mayor que cierto número m, entonces ambas series tienen el mismo carácter. En particular, el carácter de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de sus términos.

Ejemplo: Estudiar el carácter de la siguiente serie y en su caso calcular su suma \sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{1+2^n+3^n}{5^n}}.

\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{1 + {2^n} + {3^n}}}{{{5^n}}}} = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{5}} \right)} ^n} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n}}

y como estas series son geométricas de razones menor que 1, la serie  es convergente.

Teorema: Si la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n} converge, entonces \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0.

La serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{3n^2+5n-4}{n^2-5}} no es convergente pues \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{3{n^2} + 5n – 4}}{{{n^2} – 5}} = 3 \ne 0.

La condición de que \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0 no garantiza la convergencia de la serie. Por ejemplo la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{1}{\sqrt n}} verifica la condición y no es convergente pues 

\begin{darray}{rl} {S_n}& = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \cdots + \frac{1}{{\sqrt n }} \geqslant  \\[0.5em] & \geqslant \frac{1}{{\sqrt n }} + \cdots + \frac{1}{{\sqrt n }} = \frac{n}{{\sqrt n }} = \sqrt n \to \infty \\ \end{darray}

Criterios de convergencia

Empezamos estudiando criterios de convergencia para las series cuyos términos tienen todos el mismo signo. Podemos restringirnos al caso en que dichos términos son positivos, pues si \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n} es una serie de términos negativos, entonces \sum\limits_{n= 1}^\infty{(-a_n)} es una serie de términos positivos, y es claro que ambas series tienen el mismo carácter.

Es claro que si  a_n\geq 0, la sucesión \{S_n\}_n es creciente.  

Proposición: Supongamos que a_n\geq 0 para todo n \in \mathbb{N}. Entonces la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n} converge si la sucesión de sumas parciales \{S_n\}_n es acotada superiormente, y diverge a +\infty en caso contrario. En otras palabras una serie de términos positivos o bien converge o bien diverge a +\infty, no puede ser oscilante.

Teorema: (Criterio de la integral) Sea f:[1,\infty)\longrightarrow\mathbb{R} una función decreciente, continua y positiva y sea \{a_n\}_n una sucesión tal que f(n)=a_n\text{ para todo } n\in\mathbb{N}. Entonces la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n} converge si y sólo si, lo hace la integral impropia \displaystyle\int_1^\infty f(t)dt.

Serie armónica: Se llama serie armónica a la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{1}{n}}.

Se llaman series armónicas generalizadas o p-series a las series \sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{1}{n^p}}\text{ para }p>0.

La serie p-armónica \sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{1}{n^p}} converge si p>1 y diverge si p\leq1.

En efecto, la función f:[1,\infty)\longrightarrow\mathbb{R} definida como f(x)=\dfrac{1}{x^p} es continua, positiva y decreciente y f(n)=a_n para todo n\in\mathbb{N}.

Para p=1, \displaystyle\int_1^\infty {\frac{1}{t}dt} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \int_1^x {\frac{1}{t}dt} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln x – \ln 1 = \infty , y la serie armónica es divergente.

Para p\neq1

\displaystyle\int_1^\infty {\frac{1}{{{t^p}}}dt} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \int_1^x {\frac{1}{{{t^p}}}dt} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ – 1}}{{(p – 1){x^{p – 1}}}} + \frac{1}{{p – 1}}

entonces si p>1 el límite anterior es cero y la integral converge y si p<1 la integral diverge. Concluimos que

\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^p}}}}\,\, \text{ es } \left\{ {\begin{array}{cc} {\text{convergente}}&{\text{si } p > 1} \\ \text{divergente}&{\text{si }p \leqslant 1}. \end{array}} \right.

Teorema: Sean \{a_n\}_n y \{b_n\}_n dos sucesiones de números reales tales que

0\leq a_n\leq b_n, \text{ para todo } n\in \mathbb{N}.

1. Si la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{b_n} es convergente , también lo es \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n}.
2. Si la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n} es divergente , también lo es \sum\limits_{n= 1}^\infty{b_n}.

Como consecuencia del teorema anterior podemos enunciar el siguiente corolario.

Corolario: Sean \{a_n\}_n y \{b_n\}_n dos sucesiones de términos positivos.

1. Si el límite \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}} existe y es distinto de 0, entonces las series \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n} y \sum\limits_{n= 1}^\infty{b_n} tienen el mismo carácter.
2. Si el límite \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}=0 y la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{b_n} es convergente, también lo es la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n}.
3.  Si el límite \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}=+\infty y la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{b_n} es divergente, también lo es la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n}.

Utilizando este criterio de comparación mediante paso al límite y las series p-armónicas podemos estudiar el carácter de  muchas series.

Ejemplo: Estudia el carácter de la serie \displaystyle\sum\limits_{n= 1}^\infty{\frac{2n+5}{n^3-3n^2+5n+3}}.

Si consideramos la sucesión de término general a_n=\dfrac{1}{n^2} (observa la diferencia entre los grados del numerador y el denominador) tenemos 

\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{2n + 5}}{{{n^3} – 3{n^2} + 5n – 3}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2{n^3} + 5{n^2}}}{{{n^3} – 3{n^2} + 5n – 3}} = 2 \ne 0,

luego ambas series tienen el mismo carácter y como \sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{1}{n^2}} es convergente, p=2, también lo es la serie propuesta.

Ejemplo: Estudiar el carácter de la serie \displaystyle\sum\limits_{n= 2}^\infty{\frac{1}{\ln n}}.

Consideramos ahora la serie de término general a_n=\dfrac{1}{{n}} , entonces

\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{\ln n}}}}{{\frac{1}{n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{\ln n}} = + \infty

y como la serie \sum\limits_{n= 2}^\infty{\dfrac{1}{{n}}} es divergente, la serie propuesta también.

Ejemplo: Estudiar el carácter de la serie \displaystyle\sum\limits_{n= 1}^\infty{\operatorname{sen}^2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}.

Volvemos a considerar la serie de término general a_n=\dfrac{1}{{n}} , entonces

\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\operatorname{sen} }^2}\left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right)}}{{\frac{1}{n}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{\operatorname{sen} \left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right)}}{{\frac{1}{{\sqrt n }}}}} \right)^2} = 1\neq0.

Este límite vale 1 porque el el límite del cociente del seno de un ángulo entre el mismo ángulo cuando este ángulo tiende a cero. Como la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{1}{{n}}} es divergente, la serie propuesta también.

Para el estudio del carácter de una serie también disponemos de otros criterios.

Criterio de la raíz: Sea \{a_n\}_n una sucesión de términos positivos tal que existe o es infinito el límite \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = l. Entonces la serie \displaystyle\sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n} es convergente si l<1 y divergente si l>1.

Este criterio suele ser útil cuando en la definición de los términos de la serie aparecen potencias de exponente n.

Ejemplo: Estudia el carácter de la serie \displaystyle\sum\limits_{n= 1}^\infty\frac{1}{{{2^n}}}{{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^{{n^2}}}.

Aplicando el criterio de la raíz

\begin{darray}{rl} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}}& = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\frac{1}{{{2^n}}}{{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^{{n^2}}}}}\\[0.5em] &= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{2}{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{2}{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = \frac{e}{2} > 1. \end{darray}

y la serie propuesta es divergente.

Criterio del cociente: Sea \{a_n\}_n una sucesión de términos positivos tal que existe o es infinito el límite \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = l. Entonces la serie \displaystyle\sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n} es convergente si l<1 y divergente si l>1.

Este criterio suele ser útil cuando aparecen factoriales.

Ejemplo: Estudiar el carácter de la serie \displaystyle\sum\limits_{n= 1}^\infty{\frac{n^2}{n!}}.

Aplicando el criterio del cociente

\begin{darray}{rl} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}& = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{(n + 1)!}}}}{{\frac{{{n^2}}}{{n!}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{(n + 1)}^2}n!}}{{{n^2}(n + 1)!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{{n^2}(n + 1)}} \\[0.85em] & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{{n^2}}} = 0 < 1. \end{darray}

y la serie propuesta es convergente.

El criterio del cociente no dice nada si \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = 1 puesto que hay series que cumplen esta condición y son convergentes y series que también la cumplen y son divergentes.

• La serie \displaystyle\sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{1}{n^2}} es convergente y \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{n^2}{(n+1)^2}=1.
• La serie \displaystyle\sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{1}{n}} es divergente y también cumple que \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{n}{n+1}=1.

Si esto ocurre suele ser útil aplicar el siguiente criterio.

Criterio de Raabe: Sea \{a_n\}_n una sucesión de términos positivos tal que existe o es infinito el límite \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }n\left(1- \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right) = l. Entonces la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n} es convergente si l>1 y divergente si l<1.

Ejemplo: Estudiar el carácter de la serie \displaystyle\sum\limits_{n= 1}^\infty{\frac{2\cdot4\cdots2n}{3\cdot5\cdots(2n+1)}}.

Si aplicamos el criterio del cociente tenemos

\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{2 \cdot 4 \cdot \cdots 2n \cdot (2n + 2)}}{{3 \cdot 5 \cdots (2n + 1)(2n + 3)}}}}{{\frac{{2 \cdot 4 \cdot \cdots 2n}}{{3 \cdot 5 \cdots (2n + 1)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n + 2}}{{2n + 3}} = 1.

Aplicando el criterio e Raabe

\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\left( {1 – \frac{{2n + 2}}{{2n + 3}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n \cdot \frac{{2n + 3 – 2n – 2}}{{2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{2n + 3}} = \frac{1}{2}

y la serie propuesta es divergente.

Series alternadas

Para el estudio de series cuyos términos tienen signo no constante tenemos la siguiente definición.

Definición: Sea \sum\limits_{n= 1}^\infty{a_n} una serie de términos  cuyo signo no es constante, se dice que es absolutamente convergente si la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{\vert a_n \vert} es convergente.

Teorema: Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Ejemplo: La serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{\cos n}{n^2}} es convergente.

En efecto, como | \cos n|\leq1 para todo n\in\mathbb{N}, entonces

\left|\dfrac{\cos n}{n^2}\right|\leq\dfrac{1}{n^2}

y la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{1}{n^2}} es convergente, por el criterio de comparación la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{\left|\dfrac{\cos n}{n^2}\right|} es convergente y por el teorema anterior la serie \sum\limits_{n= 1}^\infty{\dfrac{\cos n}{n^2}} es convergente.

El recíproco del teorema no es cierto, existen series que convergen pero no lo hacen absolutamente.

Series alternadas:  Una serie es alternada si sus términos son alternativamente positivos y negativos.

\sum\limits_{n= 1}^\infty{(-1)^{n+1}a_n},

con a_n>0 para todo n\in\mathbb{N}.

Teorema (de Leibnitz): Sea \{a_n\}_n una sucesión decreciente de números positivos. Si \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0 entonces la serie alternada

\sum\limits_{n= 1}^\infty{(-1)^{n+1}a_n}

es convergente. Además si S designa la suma de la serie, entonces para cada n\in\mathbb{N} se verifica

\vert S_{n}-S \vert \leq a_{n+1}.

Como vemos este teorema además de dar una condición para la convergencia de una serie alternada, también proporciona una acotación de su suma en función de la suma parcial.