Serie de funciones
Sea \{f_n\}_n una sucesión de funciones definidas todas en un intervalo I. Para cada x\in I la sucesión numérica \{f_n(x)\}_n puede converger o no. El conjunto de puntos donde la sucesión \{f_n(x)\}_n converge recibe el nombre de conjunto de convergencia de la sucesión \{f_n\}_n. La función definida como
f(x)=\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }f_n(x)
se denomina función límite (o límite puntual)
Dada una sucesión de funciones \{f_n\}_n y sea para ca da n\in\mathbb{N} la función definida como
S_n(x)=f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_n(x)=\sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}(x)}.
Al par formado por \{f_n\}_n y \{S_n\}_n se llama serie funcional y se representa como
\sum\limits_{n = 1}^\infty {{f_n}(x)}.
Se llama conjunto o campo de convergencia de la serie al conjunto de los x\in I tales que la serie
\sum\limits_{n = 1}^\infty {{f_n}(x)}
converge. La función definida en dicho conjunto como
S(x)=\sum\limits_{n = 1}^\infty {{f_n}(x)}
recibe el nombre de suma de la serie.
Ejemplo: La serie geométrica cumple que
\sum\limits_{n = 0}^\infty {{x^n}} = \dfrac{1}{{1 – x}}\quad – 1 < x < 1
pues es convergente si \vert x\vert<1.
Series de potencias
Se llama serie de potencias a toda serie de funciones de la forma
\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{(x – a)}^n}} .
El número a se llama centro de la serie y la sucesión \{a_n\}_n se denomina sucesión de coeficientes.
Haciendo el cambio x-a=t la serie se transforma en
\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{t^n}} ,
este hecho permite reducir el estudio de la serie original al de la serie con los mismos coeficientes centrada en el origen, por lo que en adelante supondremos casi siempre que a = 0.
Se llama radio de convergencia de la serie \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} a
\rho = \sup \left\{ {\alpha \ge 0:{\text{la serie }}\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}{{\left| \alpha \right|}^n}} {\text{ converge}}} \right\}.
La serie de potencias \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} converge absolutamente si \vert x\vert< \rho, y no es convergente cuando \vert x\vert>\rho . En particular, el conjunto de convergencia de la serie es un intervalo.
En la práctica, el radio de convergencia de la serie suele determinarse haciendo uso de los criterios de convergencia para series numéricas, como el criterio del cociente.
Teorema: Si existe el límite \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = l, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} es \rho=\dfrac{1}{l} (con el convenio de tomar \rho=+\infty si l=0).
Ejemplo: Calcula el intervalo de convergencia de la serie \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty{\frac{x^n}{n3^n}}
\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left|\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{(n + 1){3^{n + 1}}}}}}{{\frac{1}{{n{3^n}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n{3^n}}}{{(n + 1){3^{n + 1}}}} = \frac{1}{3}.
Así, \rho=3 y las serie converge en (-3,3). Veamos que pasa en los extremos:
- x=-3:
\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{( – 3)}^n}}}{{n{3^n}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{( – 1)}^n}}}{n}}
que es convergente por el teorema de Leibniz.
- x=3:
\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{3^n}}}{{n{3^n}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}}
que es divergente (serie armónica).
Concluimos que el intervalo de convergencia es IC=[-3,3).
A continuación analizamos el comportamiento de las series de potencias con respecto a las operaciones de derivación e integración.
Dada la serie \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_nx^n} la serie
\sum\limits_{n = 1}^\infty{na_nx^{n-1}}
que resulta de derivarla término a término, y la serie
\sum\limits_{n = 0}^\infty{\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}}
que resulta de integrarla término a término, son series de potencias y tienen el mismo el mismo radio de convergencia que la serie original.
Teorema: Sea \rho el radio de convergencia de la serie \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_nx^n} y sea f la función definida en (-\rho,\rho) por medio de la expresión
f(x)=\sum\limits_{n = 0}^\infty{a_nx^n}.
Entonces f es indefinidamente derivable en el intervalo (-\rho, \rho), y para cada x \in (-\rho, \rho) se satisfacen las igualdades
\begin{darray}{rl}f'(x)&=\sum\limits_{n = 1}^\infty{na_nx^{n-1}}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots\\ f''(x)&=\sum\limits_{n = 2}^\infty{n(n-1)a_nx^{n-2}}=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+\cdots\\ f'''(x)&=\sum\limits_{n = 3}^\infty]{n(n-1)(n-2)a_nx^{n-3}}=6a_3+24a_4x+60a_5x^2+\cdots\\ &\vdots \end{darray}
Si hacemos x=0 en la expresión para la derivada n-sima de f obtenemos que
f^{(n)}(0)=n!a_n,
es decir
a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!},
luego los coeficientes de la serie de potencias quedan determinados por el valor de las derivadas de orden n de f en el punto cero.
f(x)=\sum\limits_{n = 0}^\infty{\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}.
Ejemplo: Hallar el intervalo de convergencia y la suma de la serie \displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{x^n}{n}}. Deducir el valor de \displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n2^n}}.
Llamemos f(x) a la serie dada f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{x^n}{n}}. Derivando
f'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n}nx^{n-1}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{x^{n-1}}
que es una serie geométrica de razón x y por lo tanto converge si \vert x\vert<1, y entonces
f'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{x^{n-1}}=\dfrac{1}{1-x}.
Integrando tenemos que f(x)=-\ln(1-x)+C. Como debe ser f(0)=0, concluimos que
\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{x^n}{n}}=-\ln(1-x).
Nos falta por comprobar la convergencia en los extremos del intervalo (-1,1).
- x=-1: \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{(-1)^n}{n}} que es convergente por el teorema de Leibniz.
- x=1: \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n}}, serie armónica divergente.
Concluimos que el intervalo de convergencia es IC=[-1,1).
Haciendo x=\dfrac12 tenemos que
f\left(\dfrac12\right)=\ln2 =\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n2^n}}.
Teorema: Sea \rho el radio de convergencia de la serie de potencias \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_nx^n}, y sea f la función definida por esta serie en el intervalo (-\rho,\rho). Entonces f es integrable en cualquier intervalo [x_1,x_2]\subset(-\rho,\rho) y se verifica la igualdad
\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\int_{x_1}^{x_2}a_nt^ndt}.
Ejemplo: Hallar el intervalo de convergencia y la suma de la serie \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)x^{n}}.
Deducir el valor de la suma \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\dfrac{n+1}{3^n}}.
Sea f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)x^n}. Integrando
\displaystyle\int_0^xf(t)dt=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\int_0^x(n+1)t^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{x^{n+1}}=\dfrac{x}{1-x},\quad \vert x \vert<1
donde hemos realizado la suma de una serie geométrica de razón x.
Derivando ahora tenemos que
f(x)=\dfrac{1-x+x}{(1-x)^2}=\dfrac{1}{(1-x)^2}=\quad x\in(-1,1).
Finalmente, haciendo x=\dfrac{1}{3} como
f\left(\dfrac13\right)=\dfrac{1}{\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2}=\dfrac{9}{4}
tenemos
\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\dfrac{n+1}{3^n}}=\dfrac{9}{4}.
Ejemplo: Hallar el intervalo de convergencia y la suma de la serie \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{n}{n+1}x^{n+1}}.
Si llamamos f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{n}{n+1}x^{n+1}} y derivamos término a término, obtenemos
f'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{nx^n}=x\sum\limits_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}
Si llamamos g(x)=\sum\limits_{n = 1}^\infty {n{x^{n – 1}}}, e integramos
\displaystyle\int_0^x g(t)dt = \sum\limits_{n = 1}^\infty \left[ \dfrac{t^n}{n}\right]_0^x = \sum\limits_{n = 1}^\infty x^n = \dfrac{1}{1 – x},\quad \left| x \right| < 1,
luego
g(x) = \left( {\dfrac{1}{{1 – x}}} \right)' = \dfrac{1}{{{{(1 – x)}^2}}},\quad \left| x \right| < 1.
y por lo tanto
f'(x)=\sum\limits_{n = 1}^\infty{nx^n}=\dfrac{x}{(1-x)^2},\;x\in(-1,1)
Entonces f(x) es un primitiva de \dfrac{x}{(1-x)^2}
f(x)=\displaystyle\int\dfrac{x}{(1-x)^2}dx.
Separando en fracciones simples
\dfrac{x}{{{{(1 – x)}^2}}} = \dfrac{A}{{1 – x}} + \dfrac{B}{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}} = \dfrac{{A(1 – x) + B}}{{{{(1 – x)}^2}}}
\left\{ \begin{darray}{l}x = 1 \Rightarrow 1 = B \Rightarrow B = 1, \\ x = 0 \Rightarrow 0 = A + B \Rightarrow A = – 1, \\ \end{darray} \right.
f(x) = \displaystyle\int\!\!{\left( { – \dfrac{1}{{1 – x}} + \dfrac{1}{{{{(1 – x)}^2}}}} \right) = \ln (1 – x) + \dfrac{1}{{1 – x}} + C}.
Como f(0)=0, \ln1 +1+C=0, y C=-1 entonces,
f(x)=\ln (1 – x) + \dfrac{1}{{1 – x}} -1=\ln(1-x)+\dfrac{1-1+x}{1-x}=\ln(1-x)+\dfrac{x}{1-x}.
\boxed{\color{blue}\sum\limits_{n = 1}^\infty{\dfrac{n}{n+1}x^{n+1}}=\ln (1 – x) + \dfrac{x}{{1 – x}},\quad x\in(-1,1)}